Examen blanc (chapitres 1 à 3)

Barème : 0,25 point par variable. Aucun point pour « quantitative » sans préciser, ni pour un type donné sans justification lorsqu'il est discutable (Satisfaction).

1. La moyenne (224,44) est nettement supérieure à la médiane (150) : la distribution est asymétrique à droite (skewness positive, 1,014). Quelques étudiants qui envoient énormément de SMS tirent la moyenne vers le haut. 0,25 pour la comparaison, 0,25 pour « right-skewed ».
2. La médiane : elle résiste aux valeurs extrêmes, alors que la moyenne y est sensible. 0,25 + 0,25 pour la justification.
3. Limite haute = Q3 + 1,5 × IQR = 350 + 1,5 × 290 = 785. Le maximum (800) est au-dessus : c'est une valeur aberrante potentielle (SPSS la dessinerait comme un point isolé sur la boîte à moustaches). 0,25 pour 785, 0,25 pour la conclusion.
4. L'écart-type mesure la dispersion : la distance « typique » entre les valeurs et la moyenne, dans l'unité de la variable (des SMS par jour). 0,5 si l'idée d'écart à la moyenne est présente.

The mean (224.44) is much larger than the median (150), so the distribution is right-skewed: a few students send a very large number of messages. The median is a better measure of a typical student because it is not sensitive to extreme values.

2.1

We are 95% confident that the mean number of text messages sent per day by the students of the population is between 185.84 and 263.04.

Barème : 0,25 pour « 95% confident », 0,5 pour « population mean » (c'est la moyenne de la population qu'on encadre, pas celle de l'échantillon, qui vaut 224,44), 0,25 pour les bornes avec l'unité.

2.2

• (A) confond l'intervalle de la moyenne avec l'étendue des données. Les étudiants envoient entre 0 et 800 SMS par jour ; l'intervalle ne parle que de la moyenne. Le cours insiste : 95 % de confiance ne veut pas dire que 95 % des données sont dans l'intervalle. (0,5)
• (B) La moyenne de la population est fixe : elle est dans l'intervalle ou elle n'y est pas. C'est l'intervalle qui change d'un échantillon à l'autre. Le 95 % porte sur la méthode : sur 100 intervalles construits ainsi, environ 95 contiennent µ. On dit donc « we are 95% confident ». (0,5)

2.3 Oui : n = 111 > 50. Grâce au théorème central limite, la moyenne de l'échantillon suit à peu près une loi normale même si la variable ne l'est pas. La règle du cours ne demande la normalité que si n < 50. (0,25 pour « yes », 0,25 pour n > 50 / CLT.)

2.4 Plus large. Pour être plus confiant, il faut une fourchette plus large (la valeur de Student utilisée passe d'environ 1,98 à environ 2,62). Pour info, l'IC à 99 % vaut [173,39 ; 275,50]. (0,25 + 0,25.)

3.1

The p-value is the probability, if H0 is true, of obtaining a sample result at least as extreme as the one we observed. The smaller it is, the less our data are compatible with H0: if it is smaller than α, we reject H0.

0,5 pour « if H0 is true », 0,5 pour « at least as extreme as the observed value ». Zéro pour « the probability that H0 is true » (le contresens classique).

3.2

A Type I error means rejecting H0 while it is true: here, concluding that the drug has an effect while it actually has none (a false positive). Its probability is α, the level of significance, chosen by the analyst before running the test (often 5%).

0,5 pour l'erreur décrite dans le contexte du médicament, 0,25 pour α / level of significance, 0,25 pour « chosen before the test ».

3.3 Parce qu'on travaille sur un échantillon : ne pas rejeter H0 veut seulement dire qu'on n'a pas assez de preuves contre elle. H0 peut quand même être fausse (comme un accusé acquitté faute de preuves n'est pas prouvé innocent).

We only have a sample: failing to reject H0 means that there is not enough evidence against it, not that H0 is proven true.

3.4 (a) Parce que l'écart-type de la population σ est inconnu : on l'estime par l'écart-type de l'échantillon s, ce qui ajoute de l'incertitude. La loi de Student, plus étalée, en tient compte ; quand n grandit, elle ressemble de plus en plus à la loi normale. (0,5) (b) df = n − 1 = 110. Les degrés de liberté sont le nombre de valeurs qui peuvent varier « librement » une fois la moyenne connue (la dernière est imposée par la moyenne) ; ou encore la quantité d'information disponible au-delà du minimum nécessaire pour estimer l'inconnue. (0,25 + 0,25)

3.5 H0 : µ ≤ 46 ; H1 : µ > 46. Test unilatéral à droite (one-tailed, right-tailed). 0,25 pour les hypothèses (le ≤ dans H0), 0,25 pour « one-tailed ».

1. H0 : µ_yes = µ_no ; H1 : µ_yes ≠ µ_no (bilatéral : « the same mean age? »). 0,25 + 0,25.
2. Deux groupes indépendants → test t pour échantillons indépendants. Groupe « no » : n = 954 > 50, la taille suffit (peu importe que Shapiro y rejette la normalité). Groupe « yes » : seulement 25 clients, moins de 30 : il faut que l'âge y soit normal. Shapiro-Wilk : Sig. = 0,307 > 0,05 → on ne rejette pas la normalité. Les conditions sont donc remplies. 0,25 pour chaque groupe correctement traité, 0,25 pour la lecture de Shapiro (0,307).
3. Levene : Sig. = 0,137 > 0,05 → on ne rejette pas l'égalité des variances → première ligne, « Equal variances assumed ». 0,25 + 0,25.
4. Two-Sided p = 0,100 > 0,05 → fail to reject H0. 0,25 pour la bonne p-value et la décision, 0,5 pour la phrase.

Levene's test p-value (0.137) is larger than 0.05, so we assume equal variances and read the first line. The two-sided p-value (0.100) is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the mean age of clients who defaulted is different from the mean age of the other clients.

1. H0 : Gender et Employment sont indépendantes ; H1 : elles sont dépendantes (liées). 0,25 + 0,25.
2. Oui : la règle du cours (au moins 5 dans chaque case du tableau attendu) est respectée. Note a. : 0 case sous 5, minimum attendu 8,92. 0,25 pour la règle, 0,25 pour la lecture de la note.
3. Ligne Pearson Chi-Square : Asymptotic Significance (2-sided) = 0,235 > 0,05 → fail to reject H0. 0,25 pour la bonne ligne et la décision, 0,5 pour la phrase.
4. C'est vrai dans l'échantillon, mais l'écart n'est pas statistiquement significatif : on ne peut pas le généraliser à la population des étudiants. (0,25)

All expected counts are at least 5, so the chi-square test is valid. The p-value (0.235) is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that gender and employment status are dependent.

1. Binomial test (un échantillon, une proportion à deux issues comparée à une cible). H0 : p = 0,30 ; H1 : p ≠ 0,30, où p est la proportion d'étudiants qui veulent poursuivre en master. 0,25 pour le test, 0,25 pour les hypothèses.
2. SPSS donne une p-value unilatérale (« Asymp. Sig. (1-tailed) », calculée par approximation normale, note a.) : pour notre test bilatéral, on la double : 2 × 0,045 = 0,089 > 0,05 → fail to reject H0. 0,5 pour le doublement (zéro sur la question si on décide avec 0,045), 0,25 pour la décision, 0,25 pour la phrase.

SPSS gives a one-tailed p-value (0.045). As the test is two-tailed, we double it: 0.089. This is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the proportion of students who intend to go to graduate school is different from 30%.

Barème : 0,25 pour le test, 0,25 pour H0 (ou la justification clé). En b), « independent t-test » vaut 0 : c'est le piège de l'appariement. En d), « binomial » vaut 0 : il y a quatre groupes à comparer.