Tester une corrélation et la normalité
Sous une corrélation de .224, SPSS écrit « Sig. (2-tailed) = .018 » : le lien est-il fort ? Et comment savoir si une variable suit une loi normale ?
- Poser H0 : ρ = 0 et lire le tableau Correlations de SPSS
- Distinguer « corrélation significative » et « corrélation forte »
- Expliquer pourquoi Pearson et Spearman peuvent conclure différemment
- Juger la normalité avec un histogramme, un QQ-plot et le test de Shapiro-Wilk
- Lire le tableau Tests of Normality sans inverser la décision
Deux tests pour finir le chapitre, plus courts mais très utiles pour ton projet. Le premier répond enfin à la question laissée en suspens au chapitre 1 : que veut dire la ligne Sig. (2-tailed) sous une corrélation ? Le second vérifie une condition dont on parle depuis le début : la normalité. Attention, pour celui-là, la logique habituelle s'inverse.
1Ce que tu sais déjà
Dans la leçon sur la corrélation, tu as appris que le coefficient r mesure la force d'un lien entre deux variables quantitatives, entre −1 et 1. L'échelle du cours : |r| < 0,4 lien faible, de 0,4 à 0,6 modéré, > 0,6 fort. Pearson pour un lien linéaire, Spearman pour un lien monotone ou des variables ordinales, Kendall pour des variables ordinales et de petits échantillons. Et surtout : corrélation ≠ causalité.
Quand il a montré le tableau SPSS des corrélations, le prof a écrit : « Notice the “Sig. (2-tailed)” that we do not explain yet. » C'est le moment.
2Tester une corrélation : H0 « pas de lien »
Le r que calcule SPSS vient d'un échantillon. Même si deux variables n'ont aucun lien dans la population, un échantillon donnera presque toujours un r un peu différent de 0, par hasard (comme les tables du mariage n'ont jamais exactement la moyenne de 40 ans). La question du test est donc : le r observé est-il assez loin de 0 pour qu'on croie à un lien dans la population ?
H0 : ρ = 0 (dans la population, pas de lien linéaire, ou monotone pour Spearman) ;
H1 : ρ ≠ 0 (il existe un lien).
ρ (rho) désigne la corrélation de la population ; r celle de l'échantillon. La p-value se lit dans la ligne Sig. (2-tailed).
La p-value dépend de deux choses : la valeur de r et la taille de l'échantillon. Avec 8 observations, un r de 0,5 peut sortir par hasard ; avec 1 000 observations, même un r de 0,08 devient significatif. D'où l'idée la plus importante de cette partie :
Une corrélation pose deux questions séparées. Existe-t-il un lien ? → la p-value (Sig.). Est-il fort ? → la valeur de r, avec l'échelle du cours. Une réponse ne donne jamais l'autre.
Fort et significatif
Années d'études et années d'études du conjoint (exemple du cours) : r = 0,684, sur des milliers de clients. Un lien réel et fort.
Faible mais significatif
Âge et solde bancaire (BankMarketing) : ρ de Spearman = 0,081, p = 0,011 avec 979 clients. Le lien existe sans doute, mais il est minuscule.
Moyen mais non significatif
Exemple inventé : r = 0,5 avec seulement 8 observations donne p ≈ 0,21. Trop peu de données pour conclure.
Faible et non significatif
GPA et nombre de SMS par jour (StudentSurvey) : r = 0,063, p = 0,510. Aucun lien détecté.
3Dans SPSS : le tableau Correlations
→ Variables : Age, Salary → Correlation Coefficients : coche Pearson (et/ou Spearman, Kendall's tau-b) → Test of Significance : Two-tailed → coche Flag significant correlations → OK.
Exemple réel, StudentSurvey : l'âge des étudiants est-il lié au salaire qu'ils espèrent à la sortie (en k$) ?
Correlations
| Age | Salary | ||
|---|---|---|---|
| Age | Pearson Correlation | 1 | .224* 1 |
| Sig. (2-tailed) | .018 2 | ||
| N | 111 | 111 3 | |
| Salary | Pearson Correlation | .224* | 1 |
| Sig. (2-tailed) | .018 | ||
| N | 111 | 111 | |
*. Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).
- 1D'abord la force : r = 0,224. Positif (les plus âgés espèrent un peu plus), mais |r| < 0,4 : lien faible. Le 1 sur la diagonale (Age avec Age) ne sert à rien ; le tableau est symétrique, une seule case suffit.
- 2Puis le test : Sig. (2-tailed) = 0,018 < 0,05. On rejette H0 : ρ = 0. L'étoile et la note en bas disent la même chose (« ** » signalerait p < 0,01).
- 3N = 111 : le nombre d'étudiants utilisés pour le calcul.
The Pearson correlation between age and expected salary is 0.224, a weak positive correlation. Its p-value (0.018) is smaller than 0.05, so we reject H0: ρ = 0. There is enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that age and expected salary are correlated, but the link is weak.
4Pearson dit oui, Spearman dit non : pourquoi ?
Même question, mais avec la corrélation de Spearman (case cochée dans le même menu) :
Correlations
| Age | Salary | |||
|---|---|---|---|---|
| Spearman's rho | Age | Correlation Coefficient | 1.000 | .136 1 |
| Sig. (2-tailed) | . | .155 2 | ||
| N | 111 | 111 | ||
| Salary | Correlation Coefficient | .136 | 1.000 | |
| Sig. (2-tailed) | .155 | . | ||
| N | 111 | 111 | ||
- 1ρ de Spearman = 0,136 : encore plus faible que Pearson.
- 2Sig. = 0,155 > 0,05 : avec Spearman, on ne rejette pas H0. Les deux méthodes ne sont pas d'accord !
Pour comprendre, il faut regarder le nuage de points, comme le recommande toujours le cours avant de calculer une corrélation :
Ces trois étudiants sont les valeurs aberrantes de l'âge (au-delà de la moustache de la boîte, à 27,5 ans). Or Pearson utilise les valeurs elles-mêmes : trois points très à droite et très en haut suffisent à « tirer » la droite vers le haut. Sans eux, la corrélation de Pearson tombe à 0,072 (p = 0,460) : plus aucun lien. Spearman, lui, travaille sur les rangs : être le plus âgé, c'est juste être 1ᵉʳ, que l'on ait 28 ou 50 ans. Il est donc beaucoup moins sensible aux valeurs extrêmes.
Le lien âge-salaire de Pearson repose sur trois étudiants. Conclusion honnête : il y a au mieux un lien faible, fragile, porté par quelques valeurs aberrantes ; Spearman, plus adapté ici, ne détecte rien de significatif. Et même si le lien existait, il ne serait pas forcément causal : ces trois étudiants sont des Seniors, plus proches du marché du travail. L'année d'études est peut-être la vraie explication (une variable de confusion, voir la leçon 1.4).
5Significatif ne veut pas dire fort
Dernier exemple, sur BankMarketing (979 clients) : l'âge est-il lié au solde bancaire ? Le solde est extrêmement asymétrique (quelques clients ont des dizaines de milliers d'euros, la médiane n'est que de 364 €) : Spearman est le plus adapté.
| Paire de variables | n | Pearson r (Sig.) | Spearman ρ (Sig.) | Ce qu'on en dit |
|---|---|---|---|---|
| Age – Salary (StudentSurvey) | 111 | 0,224 (0,018) | 0,136 (0,155) | Pearson tiré par 3 valeurs aberrantes |
| Age – Balance (BankMarketing) | 979 | 0,055 (0,088) | 0,081 (0,011) | Spearman significatif, mais lien très faible |
| GPA – Text Messages (StudentSurvey) | 111 | 0,063 (0,510) | 0,068 (0,477) | Aucun lien détecté |
Avec 979 clients, un ρ de 0,081 est significatif (p = 0,011) : on peut dire qu'il existe probablement un lien monotone entre l'âge et le solde. Mais 0,081 est très loin de 0,4 : le lien est très faible, l'âge ne permet pratiquement pas de prédire le solde. C'est le même message que dans la leçon sur la p-value : avec un grand échantillon, une toute petite différence devient significative.
Spearman's correlation between age and balance is 0.081 with a p-value of 0.011, smaller than 0.05, so we reject H0. There is enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that age and balance are correlated. However, the correlation is very weak: significant does not mean strong.
6Pourquoi s'intéresser à la normalité ?
Beaucoup de méthodes supposent qu'une variable suit (à peu près) une loi normale, la fameuse courbe en cloche : le test t et l'intervalle de confiance quand l'échantillon est petit (moins de 50 selon la règle du cours), la corrélation de Pearson, la régression du chapitre 4. Le prof rassure : la plupart des tests n'ont besoin que d'une normalité approximative. Mais plus on s'en éloigne, plus on risque des problèmes.
Trois outils, du plus visuel au plus rigoureux : l'histogramme avec la courbe normale, le QQ-plot, et un test (Shapiro-Wilk).
7Outil 1 : l'histogramme avec la courbe normale
→ la variable → Charts… : Histograms + Show normal curve on histogram → OK.
La courbe noire montre ce qu'on devrait voir si la variable était normale (même moyenne, même écart-type). On compare les barres à la courbe.
8Outil 2 : le QQ-plot
L'œil a du mal à juger si des barres sont « assez proches » d'une courbe, surtout aux extrémités. Le QQ-plot (quantile-quantile) rend la lecture plus facile : chaque point compare une valeur observée à la valeur qu'on attendrait au même rang si la variable était normale. Si la variable est normale, les points sont alignés sur la droite.
→ la variable (loi testée : Normal) → OK.
- Points sur la droite : normalité plausible (GPA).
- Points qui forment une courbe : distribution asymétrique (Wealth).
- Points en forme de vague (en S) : trop de valeurs extrêmes des deux côtés ; le prof le montre sur l'âge des clients de
customer_dbase.
9Outil 3 : le test de Shapiro-Wilk
Les graphiques restent subjectifs. Un test compare rigoureusement la distribution observée à une loi normale :
H0 : la variable suit une loi normale ; H1 : elle ne suit pas une loi normale.
Attention, la logique s'inverse par rapport aux autres tests : ici, on espère ne pas rejeter H0.
- p > 0,05 → on ne rejette pas la normalité : bonne nouvelle, la condition est acceptable.
- p ≤ 0,05 → on rejette la normalité : la variable n'est pas normale.
→ Dependent List : GPA, Wealth → Plots… : coche Normality plots with tests (et Histogram si tu veux) → Continue → OK.
Tests of Normality
| Kolmogorov-Smirnova | Shapiro-Wilk | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Statistic | df | Sig. | Statistic | df | Sig. | |
| GPA | .077 | 111 | .098 3 | .978 | 111 | .068 1 |
| Wealth | .389 | 111 | <.001 | .476 | 111 | <.001 2 |
a. Lilliefors Significance Correction
- 1GPA : Shapiro-Wilk Sig. = 0,068 > 0,05. On ne rejette pas H0 : pas assez de preuves pour dire que le GPA n'est pas normal. Cohérent avec l'histogramme et le QQ-plot.
- 2Wealth : Sig. < 0,001. On rejette la normalité, comme les graphiques le laissaient prévoir.
- 3SPSS affiche aussi le test de Kolmogorov-Smirnov (avec la correction de Lilliefors, note a.). Il mesure le plus grand écart entre la distribution observée et la loi normale. Le cours lit Shapiro-Wilk : c'est la colonne à citer. (Ici les deux tests concluent pareil.)
H0: GPA is normally distributed; H1: it is not. The p-value of the Shapiro-Wilk test (0.068) is larger than 0.05, so we fail to reject H0: there is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that GPA is not normally distributed.
For Wealth, the p-value (< 0.001) is smaller than 0.05, so we reject H0: at a 5% risk level, we can reject the normality of the distribution of Wealth.
10Le piège des grands échantillons
Le prof raconte sa surprise avec la variable « Years of Education » de customer_dbase : l'histogramme semblait presque parfait, et pourtant Shapiro-Wilk donne p < 0,001. « WHAT???? » Sa réponse : en regardant de près, l'histogramme n'était pas si parfait, et l'œil humain est très mauvais juge de la normalité. On retrouve la même situation avec l'âge des 979 clients de BankMarketing :
Tests of Normality
| Kolmogorov-Smirnova | Shapiro-Wilk | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Statistic | df | Sig. | Statistic | df | Sig. | |
| Age | .093 | 979 | <.001 | .967 | 979 1 | <.001 2 |
a. Lilliefors Significance Correction
- 1df = 979 : un très grand échantillon.
- 2Shapiro-Wilk rejette la normalité (p < 0,001), alors que l'histogramme ressemble, de loin, à une cloche.
C'est le même phénomène que « significatif ne veut pas dire important ». Avec 979 personnes, le test a une loupe surpuissante : il repère le moindre défaut (une asymétrie modérée, un plateau) et rejette la normalité « parfaite », même quand l'écart est sans conséquence pratique. Avec un petit échantillon, c'est l'inverse : le test voit mal, et p > 0,05 ne prouve pas que la variable est normale.
En pratique : regarde toujours les graphiques en plus du test. Et souviens-toi de la règle du cours : quand l'échantillon est grand (n > 50, ou 30 selon les livres), le test t n'a de toute façon pas besoin de la normalité. La normalité compte surtout pour les petits échantillons, là où justement le test est le moins puissant.
11Les pièges
« p = 0,03, super, c'est significatif, donc c'est normal » : non ! Ici H0 = normalité. p < 0,05 → on rejette la normalité. On espère un p grand.
Comme toujours, ne pas rejeter H0 ne prouve pas H0. On écrit we fail to reject normality ou normality is plausible, pas GPA is normal.
Sig. = 0,011 ne dit rien sur la force du lien. Lis d'abord r (faible, modéré, fort), puis Sig. (existe-t-il ?). Avec 979 clients, ρ = 0,081 est significatif et pourtant quasi nul.
Quelques valeurs aberrantes suffisent à créer (ou à cacher) une corrélation de Pearson. Regarde le nuage de points, et compare avec Spearman. Et une corrélation significative n'est jamais une preuve de causalité.
12Teste-toi
Quelle est l'hypothèse nulle d'un test de corrélation ?
- H0 : r = 0,224 Non : H0 ne porte pas sur l'échantillon (on connaît déjà r). Elle porte sur la population.
- H0 : ρ = 0 (pas de lien dans la population) Oui : le statu quo, c'est « pas de lien ». On cherche des preuves qu'il y en a un.
- H0 : ρ ≠ 0 Le « ≠ » va toujours dans H1, le « = » dans H0.
Sur 900 clients, SPSS affiche Pearson Correlation = .12 et Sig. (2-tailed) = .003. Quelle phrase est juste ?
- Le lien est fort, car p est très petit C'est le piège n° 3 : la p-value dit si le lien existe, pas s'il est fort.
- Le lien est significatif mais faible Oui : p < 0,05 donc on rejette ρ = 0, mais |r| = 0,12 < 0,4 : lien faible.
- Le lien n'est pas significatif, car r est proche de 0 Non : avec 900 clients, même un petit r peut être significatif. Ici p = 0,003 < 0,05.
Tests of Normality : Shapiro-Wilk Sig. = .214. Que conclus-tu (α = 5 %) ?
- On rejette la normalité Non : 0,214 > 0,05, on ne rejette pas H0 (qui est « la variable est normale »).
- On ne rejette pas la normalité : elle est plausible Oui : pas assez de preuves pour dire que la variable n'est pas normale.
- La variable est normale, c'est prouvé Ne pas rejeter H0 ne la prouve jamais (piège n° 2).
Avec 2 000 observations, l'histogramme a une belle forme de cloche mais Shapiro-Wilk donne p < 0,001. Quelle est la meilleure lecture ?
- SPSS s'est trompé Non : le calcul est juste. C'est l'interprétation qui demande du recul.
- Avec un très grand échantillon, le test détecte des écarts minimes ; il faut regarder aussi les graphiques Oui : c'est le cas « Years of Education » du prof. Et avec n aussi grand, un test t n'a de toute façon pas besoin de la normalité.
- La variable est très loin d'une loi normale Non : l'histogramme montre le contraire. Une petite p-value ne dit pas que l'écart est grand.
Pearson : r = 0,30, p = 0,02. Spearman : ρ = 0,10, p = 0,40. Le nuage montre deux points très éloignés des autres. Que penses-tu ?
- Le lien de Pearson est probablement dû aux valeurs aberrantes : Spearman est plus fiable ici Oui : c'est exactement le cas âge-salaire. Pearson est sensible aux points extrêmes, Spearman (rangs) beaucoup moins.
- On garde Pearson, car il est significatif Choisir le test qui « marche » n'est pas une méthode. Avec des valeurs aberrantes, Pearson n'est pas adapté.
- Les deux tests sont faux, on ne peut rien dire Non : les deux calculs sont justes, mais ils ne mesurent pas la même chose. Il faut choisir celui qui convient aux données.
En résumé
- Test de corrélation : H0 : ρ = 0. Dans le tableau Correlations, lis r (force : faible < 0,4 < modéré < 0,6 < fort) puis Sig. (2-tailed) (existence du lien).
- Significatif ≠ fort : avec un grand n, une corrélation minuscule peut être significative.
- Pearson est sensible aux valeurs aberrantes, Spearman (rangs) beaucoup moins : regarde toujours le nuage. Corrélation ≠ causalité.
- Normalité : histogramme + courbe, QQ-plot (points sur la droite), Shapiro-Wilk (H0 = normale ; on espère p > 0,05). Menu Explore › Plots › Normality plots with tests.
- Grands échantillons : Shapiro-Wilk rejette pour des écarts minimes ; regarde les graphiques, et souviens-toi qu'avec n > 50 le test t n'exige pas la normalité.
Pour t'entraîner : exercices du chapitre 3.
Tu as tout compris ?
Coche la leçon : ta progression s'affiche dans le menu.