Exercices du chapitre 3

Les deux réflexes qui rapportent des points :

• Le signe =, ≤ ou ≥ est toujours dans H0, jamais dans H1. Une copie qui écrit « H1 : µ ≥ 10 » perd tout le point.
• H1, c'est « ce que l'analyste veut montrer » (la hausse, le soupçon de l'association…). Si on ne peut pas trancher sur un sens, c'est bilatéral.

Remarque : certains livres écrivent « H0 : µ = 46 » même pour un test unilatéral. Le cours signale cette habitude comme source de confusion : écris plutôt µ ≤ 46.

H0: µ ≤ 46 (the mean amount spent has not increased). H1: µ > 46 (the mean amount spent has increased). This is a right-tailed test.

1. Type I : détruire un lot qui était sain (fausse alarme). Type II : laisser partir un lot contaminé (alarme manquée).
2. Pour les clients, c'est l'erreur de type II : ils risquent l'intoxication. Pour l'entreprise, le type I coûte un lot ; le type II peut coûter bien plus (rappel de produits, procès, image de marque). Le cours le souligne : dans beaucoup de cas réels, l'erreur de type II a les conséquences les plus graves.
3. α est la probabilité de commettre une erreur de type I : rejeter H0 alors qu'elle est vraie. Sur 200 lots sains, environ 5 % × 200 = 10 lots seront détruits à tort.
4. Avec α plus petit, le test devient plus exigeant avant de rejeter H0 : on détruit moins de lots sains, mais on laisse passer plus de lots contaminés. Les deux risques varient en sens inverse (comme quand on change le seuil d'hormones du test de grossesse). Le cours ne demande pas de calculer β (c'est hors programme), seulement de comprendre ce lien.
5. Condamner Mister Bunny alors qu'il est innocent : rejeter H0 « innocent » à tort.

A Type I error means rejecting H0 while H0 is true: here, destroying a batch that is not contaminated. Its probability is α, the level of significance (5%). A Type II error means failing to reject H0 while H0 is false: here, selling a contaminated batch.

Partie A. Une seule règle : p < α → reject H0 ; p ≥ α → fail to reject H0.

Remarque la ligne 0,031 : la même p-value mène à deux décisions différentes selon α. C'est pour ça qu'on fixe α avant de regarder les données (étape 5).

Partie B.

1. Faux. p = 0,906 > 0,05 : on ne rejette pas H0, c'est tout. On n'a pas prouvé que l'âge moyen vaut 22 ans (il vaut peut-être 21,9 ou 22,1). Les données sont simplement compatibles avec 22.
2. Faux. La p-value se calcule en supposant H0 vraie : c'est la probabilité, si H0 est vraie, d'obtenir un échantillon au moins aussi éloigné de H0 que le nôtre. Ce n'est pas la probabilité que H0 soit vraie.
3. Vrai. Une petite p-value veut dire qu'un tel échantillon serait très rare si H0 était vraie : on doute de H0.
4. Vrai. 0,062 < 0,10 : on rejette H0 au seuil de 10 %. Mais pas au seuil de 5 % (0,062 > 0,05). Dans l'échelle du cours, le résultat est « peu significatif ».
5. Faux. Significatif ne veut pas dire important. Avec un très grand échantillon, un écart minuscule (quelques mois d'âge, quelques euros) peut être significatif. C'est à l'entreprise de dire si l'écart compte.

The p-value (0.906) is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the mean age of students is different from 22.

Les erreurs les plus fréquentes : croire que c) et d) sont identiques (seul c) est apparié, car chaque ligne est le même individu), et chercher une « corrélation » en h) alors qu'une variable oui/non sert à former deux groupes. Pour t'entraîner encore, utilise l'arbre interactif de la fiche mémo.

1. H0 : µ = 57 ; H1 : µ ≠ 57. Test bilatéral : la question est « différente ? », sans sens particulier.
2. Oui. La condition du test t est « n > 50 (30 selon les livres) ou données normales ». Ici n = 111 : grâce au théorème central limite, la moyenne de l'échantillon suit à peu près une loi normale même si les salaires, eux, ne le sont pas.
3. Test bilatéral → colonne Two-Sided p = 0,016. Comme 0,016 < 0,05, on rejette H0.
4. Voir l'encadré ci-dessous.
5. 0,016 > 0,01 : au seuil de 1 %, on ne rejette pas H0. Mêmes données, autre exigence, autre décision : c'est pour ça qu'on fixe α avant de regarder les résultats.
6. IC de la différence : [−4,432 ; −0,469]. IC de la moyenne : [57 − 4,432 ; 57 − 0,469] = [52,57 ; 56,53] k$. Il ne contient pas 57 : c'est cohérent avec le rejet de H0 à 5 %. (C'est exactement l'intervalle que donne le menu Explore.)
7. Les deux idées sont justes, chacune à sa place. Statistiquement, l'écart (2,45 k$) n'est probablement pas dû au hasard de l'échantillon. Mais significatif ne veut pas dire important : savoir si 2 450 $ par an comptent est une question de jugement (pour l'école, pour un recruteur), pas de statistique.

The p-value (0.016) is smaller than 0.05, so we reject H0. There is enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the mean expected salary of the students is different from $57k. Given the sample mean ($54.55k), our students seem to expect a lower salary.

1. H0 : µ ≥ 3,2 (l'affirmation de l'école, le statu quo, qui contient le ≥) ; H1 : µ < 3,2 (ce que le journaliste veut montrer). Test unilatéral à gauche. Conditions : n = 111 > 50 (et la GPA est de toute façon proche d'une loi normale).
2. H1 contient « < » : on lit One-Sided p = 0,010. Vérification : la moyenne observée (3,109) est bien inférieure à 3,2 (t négatif, Mean Difference = −0,091). L'échantillon va dans le sens de H1, la lecture unilatérale est légitime. Si la moyenne observée avait été au-dessus de 3,2, l'échantillon ne donnerait aucune raison de croire H1, et on ne rejetterait pas H0.
3. 0,010 < 0,05 : on rejette H0.
4. Two-Sided p = 0,019 < 0,05 : même décision ici, mais c'est la mauvaise colonne (des points perdus à l'examen). La p-value unilatérale est la moitié de la bilatérale : si on avait eu Two-Sided p = 0,08 (donc One-Sided p = 0,04), le choix de la colonne aurait changé la décision. Règle : H1 avec ≠ → Two-Sided ; H1 avec < ou > → One-Sided (après avoir vérifié le sens).

The one-sided p-value (0.010) is smaller than 0.05, so we reject H0. There is enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the mean GPA of the students is lower than 3.2.

Partie A

1. H0 : µ_yes = µ_no (même solde moyen dans les deux populations) ; H1 : µ_yes ≠ µ_no.
2. Levene teste l'égalité des dispersions (variances) des deux groupes : H0 = variances égales. Sig. = 0,156 > 0,05 → on ne rejette pas l'égalité des variances → on lit la première ligne, « Equal variances assumed ».
3. Two-Sided p = 0,448 > 0,05 → fail to reject H0.
4. Les soldes sont extrêmement dispersés (écarts-types de 1 310 € et 2 541 €). Un écart de 303 € entre les deux moyennes est petit à côté de cette variabilité : il peut très bien venir du hasard de l'échantillon. L'IC de la différence, [−1 086,83 ; 480,55], contient 0. C'est l'exemple Netflix du cours : les moyennes diffèrent dans l'échantillon, mais pas assez pour conclure dans la population.
5. Bonne remarque à faire dans un rapport : 41 est au-dessus de 30 mais en dessous de 50, et la variable est très loin d'une loi normale. La condition est donc limite : le résultat est à prendre avec prudence (le plan B, Mann-Whitney, est hors examen).

Levene's test p-value (0.156) is larger than 0.05, so we assume equal variances and read the first line. The p-value (0.448) is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the mean balance differs between clients who subscribed to a term deposit and those who did not.

Et si tu avais lu la deuxième ligne (p = 0,175) ? Même décision ici… mais mauvaise ligne : à l'examen, c'est précisément ce qui est noté.

Partie B

6. Levene : Sig. = 0,032 < 0,05 → on rejette l'égalité des variances → deuxième ligne, « Equal variances not assumed » (test de Welch ; tu le reconnais à ses degrés de liberté non entiers, 259,624). Two-Sided p = 0,222 > 0,05 → fail to reject H0. Les deux groupes comptent plus de 50 clients : conditions remplies.

Levene's test is significant (p = 0.032 < 0.05), so we cannot assume equal variances and we read the second line (Welch test). The p-value (0.222) is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the mean call duration differs between clients with and without a personal loan.

1. Les mêmes dix clients notent les deux recettes : chaque ligne est un client, avec ses deux notes. On compare chaque client à lui-même, ce qui élimine les différences de goût entre clients (certains notent généreusement tout, d'autres sévèrement). La corrélation de 0,947 entre Old et New le montre bien : un client généreux l'est pour les deux recettes.
2. H0 : µ_Old = µ_New (la différence moyenne vaut 0) ; H1 : µ_Old ≠ µ_New. Bilatéral.
3. Quand l'échantillon est petit, il faut que les différences (Old − New) suivent une loi normale. Test de Shapiro-Wilk sur Diff : Sig. = 0,601 > 0,05 → on ne rejette pas la normalité → le test t apparié peut être utilisé. (Avec seulement 10 valeurs, Shapiro-Wilk détecte mal les écarts : un coup d'œil à l'histogramme serait un plus.)
4. Tableau Paired Samples Test, Two-Sided p = 0,002 < 0,05 → reject H0. Attention à ne pas lire la Sig. du tableau Correlations : elle teste autre chose (le lien entre les deux notes).
5. La différence est calculée Old − New. Une moyenne de −3,600 veut dire que la nouvelle recette a en moyenne 3,6 points de plus. L'IC [−5,453 ; −1,747] est entièrement négatif : on est confiant à 95 % que la nouvelle recette obtient en moyenne entre 1,7 et 5,5 points de plus. Dans les données, 9 clients sur 10 ont mieux noté la nouvelle recette.

The p-value (0.002) is smaller than 0.05, so we reject H0. There is enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the mean grade has changed between the former and the new recipe. As the mean difference (Old − New) is negative, the new recipe seems to be preferred.

1. HypothèsesH0 : µ_F ≤ µ_M ; H1 : µ_F > µ_M. L'idée de l'opérateur (« plus ») va dans H1 : unilatéral à droite.
2. Sur quoi ?Deux groupes indépendants (filles, garçons), une moyenne.
3. TestIndependent-Samples T-Test.
4. ConditionsLes groupes comptent 55 et 56 étudiants (> 50) : le test est utilisable même si la variable n'est pas normale. Levene : Sig. = 0,271 > 0,05 → variances égales → première ligne.
5. Seuilα = 5 %.
6. p-valueSens : la moyenne des filles (241,69) est bien supérieure à celle des garçons (207,50), l'écart va dans le sens de H1. Test unilatéral → One-Sided p = 0,191.
7. Décision0,191 > 0,05 → fail to reject H0.
8. ConclusionVoir ci-dessous.

Levene's test p-value (0.271) is larger than 0.05, so we assume equal variances. The one-sided p-value (0.191) is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that female students send more text messages per day than male students.

Ce qui rapporte des points : H0 avec le ≤ et H1 avec le > ; la justification de la condition (n > 50 malgré la non-normalité) ; Levene et le choix de la ligne ; la colonne One-Sided ; la décision ; la phrase en contexte, sans « accept ».

1. Comparer la proportion de prêts dans plusieurs groupes revient à se demander si les deux variables (Marital et Personal Loan) sont liées : si les proportions sont les mêmes partout, connaître le statut marital n'apprend rien sur le prêt, les variables sont indépendantes. Le cours le dit : c'est le même test, dans le même menu Crosstabs.
2. H0 : la proportion de clients avec un prêt personnel est la même dans les trois groupes (Marital et Personal Loan sont indépendantes) ; H1 : au moins une proportion diffère (les variables sont dépendantes).
3. Oui. La règle du cours est d'avoir au moins 5 dans chaque case du tableau attendu. La note a. l'indique : « 0 cells (0.0%) have expected count less than 5 », le plus petit effectif attendu est 20,16.
4. C'est l'effectif qu'on observerait s'il y avait indépendance : (total de la ligne × total de la colonne) / N = \( \frac{129 \times 826}{979} \approx 108{,}8 \). Autrement dit, 84,4 % des 129 divorcés.
5. On lit la ligne Pearson Chi-Square : Asymptotic Significance (2-sided) = 0,076 > 0,05 → fail to reject H0. Les lignes Likelihood Ratio et Linear-by-Linear ne sont pas utilisées dans le cours. Au seuil de 10 %, 0,076 < 0,10 → on rejetterait H0 : le résultat est « peu significatif » (not very significant). Dans l'échantillon, 17,6 % des mariés ont un prêt contre 11,5 % des célibataires, mais cet écart ne suffit pas au seuil de 5 %.

All expected counts are at least 5, so the chi-square test is valid. The p-value (0.076) is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the proportion of clients with a personal loan differs between married, single and divorced clients.

1. TestUn échantillon, deux variables qualitatives (yes/no et yes/no) → khi-deux d'indépendance. C'est aussi une comparaison de deux proportions : 4,0 % de souscripteurs chez les clients en défaut, 4,2 % chez les autres.
2. HypothèsesH0 : Default et Term Deposit sont indépendantes (même proportion de souscripteurs dans les deux groupes) ; H1 : elles sont dépendantes.
3. ConditionsNote a. : 1 case (25 %) a un effectif attendu inférieur à 5, le minimum est 1,05 (= 25 × 41 / 979 ; seulement 25 clients sont en défaut). La règle du cours (au moins 5 dans chaque case attendue) n'est pas respectée → on ne lit pas la ligne Pearson Chi-Square ; on prend le plan B, Fisher's Exact Test.
4. LectureFisher's Exact Test, Exact Sig. (2-sided) = 1,000 > 0,05 → fail to reject H0.

One expected count (1.05) is below 5, so the chi-square test is not valid and we use Fisher's exact test. Its p-value (1.000) is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that having defaulted and subscribing to a term deposit are dependent.

Pour info : certains livres tolèrent « pas plus de 20 % des cases sous 5 et aucune sous 1 ». Ici, 25 % des cases sont sous 5 : même cette règle permissive est violée. Dans ce cours, retiens la règle stricte.

1. Un seul échantillon, une variable à deux issues (yes/no) dont on compare la proportion à une valeur cible : Binomial Test. Il est toujours utilisable, sans condition de taille.
2. H0 : p = 0,15 ; H1 : p ≠ 0,15. Bilatéral : « dans la norme ? » n'indique aucun sens.
3. Dans ce menu, SPSS compare toujours le Group 1 à la Test Proportion, et le Group 1 est la catégorie du premier client du fichier. Ce client n'a pas de prêt personnel : Group 1 = no. On a donc entré la proportion attendue de « no », 1 − 0,15 = 0,85. Ce n'est pas un problème : « 15 % de yes » et « 85 % de no » sont la même hypothèse. Il faut juste vérifier la colonne Category avant de lire.
4. Le piège de ce test : SPSS affiche une p-value unilatérale (« Asymp. Sig. (1-tailed) » : calculée par approximation normale, note a., et sur un seul côté). Pour un test bilatéral, on la multiplie par 2 : 2 × 0,307 = 0,613 > 0,05 → fail to reject H0.
5. Oui : l'intervalle [0,134 ; 0,179] contient 0,15. La proportion observée de « yes » (153 / 979 = 15,6 %) est très proche de 15 %.

SPSS gives a one-tailed p-value (0.307). For a two-tailed test, we double it: 0.613. As 0.613 is larger than 0.05, we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the proportion of clients with a personal loan is different from 15%.

1. Aucune droite ne se dessine. Les deux variables sont très asymétriques : 636 clients sur 979 n'ont été appelés qu'une fois, quelques-uns jusqu'à 17 fois ; la plupart des appels durent moins de 10 minutes, mais certains plus de 40. Beaucoup de valeurs extrêmes, et beaucoup d'ex-aequo pour Campaign (nombre entier).
2. Spearman. Pearson suppose un lien linéaire et peu de valeurs aberrantes, ce qui n'est pas le cas ici. Spearman travaille sur les rangs : il résiste aux valeurs extrêmes et mesure un lien monotone.
3. H0 : ρ = 0 (pas de lien monotone dans la population) ; H1 : ρ ≠ 0.
4. Spearman's rho = −0,059, Sig. (2-tailed) = 0,065 > 0,05 → fail to reject H0 (résultat « peu significatif »). De toute façon, |−0,059| est bien inférieur à 0,4 : le lien serait très faible.
5. Non. Corrélation n'implique pas causalité. On pourrait imaginer l'inverse (un client peu intéressé raccroche vite… et on le rappelle) ou une variable de confusion. Une corrélation mesure une association, pas une cause.
6. Il y a une corrélation négative très faible entre la GPA et le nombre de réseaux sociaux, et elle n'est pas significative (0,364 > 0,05) : rien ne permet de dire que les étudiants très présents sur les réseaux ont de moins bonnes notes.

As both variables are very skewed with many extreme values, we use Spearman's correlation. Its p-value (0.065) is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the number of calls and the duration of the call are correlated. In any case, the correlation is very weak (rho = −0.059).

1. H0 : la variable suit une loi normale ; H1 : elle ne suit pas une loi normale. Particularité : ici, on espère souvent garder H0. Donc p < 0,05 veut dire « pas normal », et p ≥ 0,05 veut dire « on ne peut pas rejeter la normalité ».
2. Pour les deux variables, Sig. de Shapiro-Wilk < 0,001 < 0,05 → on rejette la normalité. On lit la colonne Shapiro-Wilk (Kolmogorov-Smirnov donne ici la même conclusion).
3. Oui : une longue queue à droite (quelques étudiants dépensent jusqu'à 2 000 $), une moyenne tirée vers le haut, au-dessus de la médiane. La distribution est asymétrique à droite.
4. Oui pour n = 111 : la condition du test t est « n > 50 ou données normales », et 111 > 50 (théorème central limite). C'est d'ailleurs ce test qui donne p = 0,425 dans la leçon sur la p-value. Avec 25 étudiants et des données non normales, en revanche, le test t ne serait pas permis : il faudrait un test non paramétrique (Wilcoxon, hors examen).
5. Il a en partie raison : le cours prévient qu'avec un grand échantillon, Shapiro-Wilk rejette souvent la normalité pour des écarts minimes. Il faut donc toujours le compléter par l'histogramme et le QQ-plot. Mais pour Balance, l'écart n'est pas minime (W = 0,426, asymétrie de 7,4) : la variable est très loin d'une loi normale.

The Shapiro-Wilk p-values are below 0.001, which is smaller than 0.05, so we reject H0: at a 5% level of significance, we can reject the normality of the distribution of Spending and of Balance.