L'intervalle de confiance d'une proportion
Un sondage annonce « 52 %, à plus ou moins 3 points ». D'où sortent ces 3 points, et comment calculer la même chose à partir de SPSS ?
- Calculer un intervalle de confiance d'une proportion à partir d'un tableau Frequencies
- Vérifier les conditions n·p̂ > 5 et n·(1 − p̂) > 5
- Interpréter et rédiger l'intervalle en anglais
- Expliquer le lien entre marge d'erreur et taille d'échantillon (n × 4 → marge ÷ 2)
Beaucoup de questions d'entreprise ne portent pas sur une moyenne mais sur une part : la part de clients qui souscrivent, la part d'étudiants qui ont un ordinateur portable, la part d'électeurs qui votent pour un candidat. Bonne nouvelle : l'intervalle de confiance d'une proportion suit exactement la même logique que celui d'une moyenne. Il change juste de formule pour l'erreur standard.
1Ce que tu sais déjà
Dans la leçon 3, l'intervalle de confiance d'une moyenne s'écrivait : estimation ponctuelle ± marge d'erreur, avec une marge égale à « valeur critique × erreur standard ». Rien ne change ici :
- l'estimation ponctuelle devient la proportion de l'échantillon p̂ ;
- l'erreur standard devient celle d'une proportion ;
- l'interprétation reste « We are 95% confident that… », avec les mêmes contresens à éviter.
2L'idée : le « plus ou moins 3 points » des sondages
Une proportion concerne une variable qualitative à deux issues : oui / non, laptop / autre, souscrit / ne souscrit pas. Dans la population, la vraie proportion π est inconnue. Dans l'échantillon, on calcule :
\(\hat{p}\) (« p chapeau ») : la proportion observée dans l'échantillon, l'estimation ponctuelle de π
Dans le manuel du cours, on la note parfois simplement \(p\).
Exemple réel (StudentSurvey) : 80 étudiants sur 111 utilisent un ordinateur portable, donc p̂ = 80/111 = 0,721, soit 72,1 %. Et pour tous les étudiants de l'université ? Comme pour la moyenne, un autre échantillon donnerait un autre chiffre. Il faut une fourchette.
Une proportion, c'est une moyenne déguisée. Code « oui » = 1 et « non » = 0 : la moyenne de ces 0 et de ces 1 est exactement la part de « oui ». Tout ce que tu as appris sur la moyenne (erreur standard qui baisse avec √n, théorème central limite) s'applique donc aux proportions.
3La formule et ses conditions
\(\hat{p}\) : la proportion de l'échantillon, écrite en décimal (0,721 et non 72,1)
\(z_{\alpha/2}\) : 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %), comme dans la leçon 2
\(\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\) : l'erreur standard d'une proportion ; multipliée par z, elle donne la marge d'erreur
Deux remarques pour comprendre la formule :
- Pourquoi z et pas t ? Pour une moyenne, on devait estimer σ à part, avec s : d'où Student. Pour une proportion, l'écart-type se déduit directement de p̂ : on reste sur la loi normale.
- Pourquoi p̂(1 − p̂) ? C'est la dispersion d'une variable oui/non. Elle est maximale quand p̂ = 0,5 (moitié oui, moitié non : c'est là qu'il y a le plus d'incertitude) et minimale quand presque tout le monde répond pareil.
Conditions : la formule repose sur une approximation par la loi normale. Elle n'est valable que si l'échantillon contient assez de « oui » et assez de « non » :
n·p̂ > 5 et n·(1 − p̂) > 5
Astuce : n·p̂ est simplement le nombre de « oui », et n·(1 − p̂) le nombre de « non ». Il suffit de lire les effectifs dans le tableau Frequencies. Si l'une des conditions n'est pas remplie, il faut une autre méthode (exacte), hors de ce chapitre.
4Exemple 1 dans SPSS : les ordinateurs portables
Question : quelle part des étudiants de l'université utilise un ordinateur portable ? SPSS n'a pas de bouton « IC d'une proportion » dans le menu classique du cours : on lit les effectifs dans Frequencies, puis on applique la formule.
→ Variable(s) : Computer → OK.
Computer
| Frequency | Percent | Valid Percent | Cumulative Percent | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Valid | Desktop | 20 | 18.0 | 18.0 | 18.0 |
| Laptop | 80 1 | 72.1 | 72.1 3 | 90.1 | |
| Tablet | 11 | 9.9 | 9.9 | 100.0 | |
| Total | 111 2 | 100.0 | 100.0 | ||
- 1k = 80 : le nombre de « oui » (Laptop). Les « non » sont tous les autres : 20 + 11 = 31.
- 2n = 111 : la taille de l'échantillon (réponses valides).
- 3Valid Percent = 72,1 % : c'est p̂, déjà calculé par SPSS. Pour le calcul, écris-le 0,7207.
- Proportion : \( \hat{p} = 80/111 = 0{,}7207 \), donc \( 1 - \hat{p} = 0{,}2793 \).
- Conditions : n·p̂ = 80 > 5 et n·(1 − p̂) = 31 > 5. ✓
- Erreur standard : \( \sqrt{0{,}7207 \times 0{,}2793 / 111} = \sqrt{0{,}001813} = 0{,}0426 \).
- Marge d'erreur à 95 % : \( 1{,}96 \times 0{,}0426 = 0{,}0835 \), soit environ 8,3 points.
- Intervalle : \( [0{,}7207 - 0{,}0835 \ ;\ 0{,}7207 + 0{,}0835] = [0{,}6373 \ ;\ 0{,}8042] \), soit [63,7 % ; 80,4 %].
We are 95% confident that the proportion of students who use a laptop (in the whole population of students) is between 63.7% and 80.4%.
Remarque : 111 étudiants, c'est peu. La fourchette fait 17 points de large. Pour une décision d'entreprise (combien de prises électriques installer dans les amphis ?), c'est peut-être suffisant ; pour un sondage électoral, pas du tout.
5Exemple 2 : la souscription au dépôt à terme, à 95 % et à 99 %
Fichier BankMarketing : la banque a appelé 979 clients pour leur proposer un dépôt à terme (term deposit). Question : quelle part de ses clients souscrirait ? Le directeur marketing pensait que c'était 5 %.
→ Variable(s) : Term Deposit → OK.
Term Deposit
| Frequency | Percent | Valid Percent | Cumulative Percent | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Valid | no | 938 | 95.8 | 95.8 | 95.8 |
| yes | 41 1 | 4.2 | 4.2 | 100.0 | |
| Total | 979 2 | 100.0 | 100.0 | ||
- 141 « yes » : seuls 41 clients ont souscrit. Les « no » sont 938.
- 2n = 979. Conditions : 41 > 5 et 938 > 5. ✓ Même si la proportion est petite, il y a assez de « oui ».
- Proportion : \( \hat{p} = 41/979 = 0{,}04188 \) (4,2 %).
- Erreur standard : \( \sqrt{0{,}04188 \times 0{,}95812 / 979} = 0{,}00640 \).
- À 95 % : marge \( 1{,}96 \times 0{,}00640 = 0{,}01255 \) → \( [0{,}0293 \ ;\ 0{,}0544] \), soit [2,9 % ; 5,4 %].
- À 99 % : marge \( 2{,}576 \times 0{,}00640 = 0{,}01649 \) → \( [0{,}0254 \ ;\ 0{,}0584] \), soit [2,5 % ; 5,8 %].
(Calculs faits sans arrondir les étapes intermédiaires.)
Ce que disent les deux intervalles
Les deux sont centrés sur 4,2 %. Celui à 99 % est plus large : plus de confiance, moins de précision. Exactement comme pour une moyenne.
Et les 5 % du directeur ?
5 % est dans l'intervalle (à 95 % comme à 99 %). Les données ne contredisent donc pas son estimation. Le test binomial du chapitre 3 arrive à la même conclusion.
We are 95% confident that the proportion of the bank's clients who would subscribe to a term deposit is between 2.9% and 5.4%.
We are 99% confident that this proportion is between 2.5% and 5.8%.
6Marge d'erreur et taille d'échantillon
Revenons aux sondages. La marge d'erreur annoncée par les instituts est presque toujours la marge maximale, celle qu'on obtient quand p̂ = 50 %. Pour un sondage de 1 000 personnes :
\( 1{,}96 \times \sqrt{\dfrac{0{,}5 \times 0{,}5}{1\,000}} = 1{,}96 \times 0{,}0158 = 0{,}031 \), soit ± 3,1 points.
C'est le fameux « plus ou moins 3 points » : un candidat à 52 % est en réalité entre environ 49 % et 55 %. Impossible de dire s'il est au-dessus de 50 % !
Et si on veut une marge plus petite ? Il faut plus de monde… beaucoup plus. Toujours avec p̂ = 50 % et un niveau de 95 % :
| Taille du sondage n | Marge d'erreur maximale |
|---|---|
| 100 | ± 9,8 points |
| 400 | ± 4,9 points |
| 1 000 | ± 3,1 points |
| 1 600 | ± 2,45 points |
| 4 000 | ± 1,55 point |
| 10 000 | ± 0,98 point |
Diviser la marge d'erreur par 2 = multiplier n par 4.
Passer de ± 3,1 à ± 1,55 point demande 4 000 personnes au lieu de 1 000, donc un sondage environ quatre fois plus cher. C'est pour ça que la plupart des sondages s'arrêtent autour de 1 000 personnes.
Pour aller plus loin : calculer la taille nécessaire, et une surprise (facultatif)
En retournant la formule, on obtient la taille d'échantillon nécessaire pour une marge E donnée (au pire cas p̂ = 0,5) : \( n = z^2\,\hat{p}(1-\hat{p})/E^2 \). Avec z = 1,96 : ± 5 points → 385 personnes ; ± 3 points → 1 068 ; ± 2 points → 2 401 ; ± 1 point → 9 604. Les calculs à la main ne sont pas demandés à l'examen, mais l'idée (n × 4 pour une marge ÷ 2) peut l'être.
La surprise : la taille de la population n'apparaît nulle part dans la formule. Un sondage de 1 000 personnes donne la même précision pour Lille que pour toute la France, tant que la population est beaucoup plus grande que l'échantillon. Ce qui compte, c'est la taille de la cuillère, pas celle de la casserole (à condition d'avoir bien mélangé, voir la leçon 1).
7Et la procédure « One-Sample Proportions » ?
Les versions récentes de SPSS (depuis la version 27) proposent une procédure qui calcule directement l'intervalle d'une proportion : (selon ta version, le menu peut s'appeler Compare Means and Proportions).
Elle propose plusieurs méthodes de calcul de l'intervalle. Celle qui correspond à notre formule s'appelle « Wald ». Les autres (Wilson, Clopper-Pearson…) corrigent les défauts de la formule quand n est petit ou quand p̂ est proche de 0 ou de 1 ; leurs bornes sont donc un peu différentes. Le cours travaille avec la formule et le tableau Frequencies : c'est ce qu'il faut savoir faire. Si tu utilises cette procédure, lis la ligne « Wald » pour retrouver ton calcul.
8Rédiger comme à l'examen
Mêmes règles que pour la moyenne : niveau de confiance, paramètre de la population en contexte, les deux bornes, et l'unité (ici des pourcentages). Pense aussi à mentionner les conditions.
The conditions are met (80 > 5 students use a laptop and 31 > 5 do not). We are 95% confident that the proportion of all students who use a laptop is between 63.7% and 80.4%.
✓ Ce qu'on écrit
“We are 95% confident that the proportion of [population] who [characteristic] is between …% and …%.”
✗ Ce qu'on n'écrit jamais
“Between 63.7% and 80.4% of the students in the sample use a laptop.”
“There is a 95% probability that the true proportion is in the interval.”
9Pièges
Si tu écris p̂ = 72,1 au lieu de 0,721, alors « 1 − p̂ » vaut −71,1 et la racine n'a plus de sens. Travaille en décimales dans la formule, et ne repasse en pourcentages qu'à la fin.
Sur 60 clients, 4 ont résilié leur contrat : n·p̂ = 4 < 5. Même si n = 60 paraît correct, il y a trop peu de « oui » : la formule n'est pas fiable. Regarde toujours les deux effectifs.
Quand il y a des réponses manquantes, SPSS affiche une ligne Missing et les colonnes Percent et Valid Percent diffèrent. Utilise Valid Percent pour p̂ et le nombre de réponses valides pour n. (Dans nos deux exemples, il n'y a aucune valeur manquante.)
Dans l'échantillon, la proportion est connue exactement : 72,1 %. L'intervalle [63,7 % ; 80,4 %] parle de la proportion dans la population, qu'on ne connaît pas.
10Teste-toi
Sur 60 clients tirés au hasard, 4 ont résilié leur contrat. Peut-on calculer l'intervalle de confiance avec la formule du cours ?
- Oui, car n = 60 > 50 La règle « n > 50 » concerne la moyenne. Pour une proportion, on vérifie le nombre de « oui » et de « non ».
- Oui, car n·(1 − p̂) = 56 > 5 Il faut que les deux conditions soient remplies. Celle des « oui » ne l'est pas.
- Non, car n·p̂ = 4 < 5 Oui : seulement 4 résiliations, c'est trop peu pour que l'approximation par la loi normale soit fiable.
Dans StudentSurvey, 42 étudiants sur 111 veulent poursuivre en master (Grad Intention = Yes). L'IC à 95 % est [28,8 % ; 46,9 %]. Quelle phrase est correcte ?
- Between 28.8% and 46.9% of the 111 students intend to go to graduate school Non : dans l'échantillon, on connaît la proportion exacte (42/111 = 37,8 %). L'intervalle parle de la population.
- We are 95% confident that the proportion of all students who intend to go to graduate school is between 28.8% and 46.9% Oui : niveau de confiance, population, deux bornes, unité.
- There is a 95% probability that the true proportion is 37.8% Non : 37,8 % est l'estimation ponctuelle, et on ne parle pas de « probabilité » pour un paramètre fixe.
Un institut annonce ± 3 points avec 1 000 personnes. Son client veut ± 1,5 point. Que doit faire l'institut ?
- Interroger 2 000 personnes Doubler n divise la marge par √2 ≈ 1,41 seulement : on obtiendrait environ ± 2,2 points.
- Interroger environ 4 000 personnes Oui : pour diviser la marge par 2, il faut multiplier n par 4.
- Passer à un niveau de confiance de 99 % Au contraire : à 99 %, la marge serait plus grande.
À taille d'échantillon égale, pour quelle proportion observée la marge d'erreur est-elle la plus grande ?
- p̂ = 5 % Non : quand presque tout le monde répond pareil, l'incertitude est faible (p̂(1 − p̂) = 0,0475).
- p̂ = 50 % Oui : p̂(1 − p̂) vaut au maximum 0,25 quand p̂ = 0,5. C'est le « pire cas » utilisé par les sondeurs.
- p̂ = 95 % Non : c'est symétrique de 5 %, la marge est petite.
En résumé
- IC d'une proportion : \( \hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} \), avec p̂ en décimal et z = 1,96 à 95 %.
- Conditions : au moins 5 « oui » et 5 « non » (n·p̂ > 5 et n·(1 − p̂) > 5).
- Dans SPSS : lire k et n dans Frequencies (Valid Percent = p̂), puis calculer. Exemples réels : laptops [63,7 % ; 80,4 %], dépôt à terme [2,9 % ; 5,4 %] à 95 %.
- Sondage de 1 000 personnes ≈ ± 3 points ; diviser la marge par 2 = multiplier n par 4.
- Interprétation : « We are 95% confident that the proportion of [population]… is between … and … ».
Pour t'entraîner : exercices du chapitre 2.
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