L'intervalle de confiance d'une moyenne
« We are 95% confident that… » : qu'est-ce que ça veut dire exactement, et comment SPSS le calcule ?
- Expliquer ce que signifie « 95 % de confiance » sans contresens
- Calculer un intervalle de confiance d'une moyenne avec z, puis avec t de Student
- Trouver l'intervalle dans la sortie Explore de SPSS et le retrouver à la main
- Expliquer le compromis entre largeur, niveau de confiance et taille d'échantillon
- Appliquer la règle du cours quand n < 50, et rédiger l'interprétation en anglais
Donner un seul chiffre (« l'âge moyen des clients est 40,16 ans ») est presque toujours faux : un autre échantillon aurait donné un autre chiffre. L'intervalle de confiance règle ce problème en donnant une fourchette et un niveau de confiance. Le professeur le dit : c'est facile à obtenir dans SPSS, mais c'est la base de tout ce qui suit. À l'examen, on attend surtout que tu saches le lire et l'interpréter sans contresens.
1Ce que tu sais déjà
Dans la leçon 2, on a vu que la moyenne d'un échantillon x̄ varie autour de µ avec une dispersion égale à l'erreur standard σ/√n. Et grâce au théorème central limite, quand n est assez grand, cette variation suit une loi normale. Conséquence : dans 95 % des échantillons, x̄ tombe à moins de 1,96 erreur standard de µ.
Au mariage, avec des tables de 25 invités (erreur standard 2 ans), 95 % des tables ont une moyenne à moins de 1,96 × 2 = 3,92 ans de µ. On va maintenant retourner cette phrase.
2L'idée : un filet plutôt qu'une flèche
Imagine que tu dois attraper un poisson (µ) que tu ne vois pas. Avec une flèche (un seul chiffre, x̄), tu le rates presque à coup sûr. Avec un filet (une fourchette autour de x̄), tu as de bonnes chances de l'attraper. Plus le filet est grand, plus tu es sûr de l'attraper… mais moins tu sais précisément où est le poisson.
Exemple : tu interroges une table de 25 invités, choisie au hasard. Leur âge moyen est x̄ = 38 ans. Au lieu de dire « l'âge moyen des invités est 38 ans », tu dis : « je suis confiant à 95 % que l'âge moyen de tous les invités est entre 34,1 et 41,9 ans ».
Intervalle de confiance = estimation ponctuelle ± marge d'erreur.
Le niveau de confiance (90 %, 95 % ou 99 %) dit à quel point on se fie à la méthode qui a fabriqué la fourchette. On ne sera jamais confiant à 100 % : pour cela, il faudrait interroger toute la population.
Le complément du niveau de confiance s'appelle α (alpha) : α = 1 − niveau de confiance. Pour 95 %, α = 5 %. C'est le risque de se tromper quand on affirme que µ est dans l'intervalle. Tu retrouveras ce α au chapitre 3, sous le nom de seuil de signification.
3Le calcul quand σ est connu : la formule avec z
Retournons la phrase de la leçon 2. « Dans 95 % des cas, x̄ tombe à moins de 1,96 erreur standard de µ » veut dire exactement la même chose que « dans 95 % des cas, µ est à moins de 1,96 erreur standard de x̄ ». Il suffit donc de partir de x̄ et d'aller 1,96 erreur standard de chaque côté.
\(\bar{x}\) : la moyenne de l'échantillon (l'estimation ponctuelle)
\(z_{\alpha/2}\) : la valeur de la loi normale qui laisse α/2 dans chaque queue : 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %)
\(\sigma/\sqrt{n}\) : l'erreur standard ; tout le produit \(z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}\) est la marge d'erreur
Table de 25 invités, x̄ = 38 ans, et on suppose σ = 10 ans connu.
Erreur standard : \( 10/\sqrt{25} = 10/5 = 2 \) ans. Marge d'erreur : \( 1{,}96 \times 2 = 3{,}92 \) ans.
IC à 95 % : \( [38 - 3{,}92 \ ;\ 38 + 3{,}92] = [34{,}08 \ ;\ 41{,}92] \) ans.
Problème : cette formule demande σ, l'écart-type de toute la population. Si tu ne connais pas µ, il est très rare que tu connaisses σ ! Il faut donc une version plus réaliste.
4Le cas réel, σ inconnu : la loi de Student
Quand σ est inconnu, on le remplace par s, l'écart-type de l'échantillon. Mais s n'est qu'une estimation : il ajoute sa propre part de hasard. Pour en tenir compte, on remplace la loi normale par une loi un peu plus « large » : la loi de Student (loi t).
\(s\) : l'écart-type de l'échantillon, à la place de σ
\(t_{\alpha/2\,;\,n-1}\) : la valeur critique de la loi de Student à n − 1 degrés de liberté (un peu plus grande que 1,96 pour 95 %)
\(s/\sqrt{n}\) : l'erreur standard estimée, le Std. Error de SPSS
| Taille n | Degrés de liberté n − 1 | t critique (95 %) | Par rapport à 1,96 |
|---|---|---|---|
| 6 | 5 | 2,571 | Marge 31 % plus large |
| 21 | 20 | 2,086 | 6 % plus large |
| 111 (StudentSurvey) | 110 | 1,982 | Presque pareil |
| 979 (BankMarketing) | 978 | 1,962 | Quasiment 1,96 |
Même table de 25 invités, x̄ = 38 ans, mais σ inconnu ; l'écart-type de l'échantillon vaut s = 10 ans.
Degrés de liberté : 25 − 1 = 24, donc t = 2,064. Marge d'erreur : \( 2{,}064 \times 10/\sqrt{25} = 4{,}13 \) ans.
IC à 95 % : \( [33{,}87 \ ;\ 42{,}13] \) ans. Un peu plus large qu'avec z ([34,08 ; 41,92]) : c'est le prix à payer pour ne pas connaître σ.
Les degrés de liberté, avec les mots du cours
Le professeur reconnaît que c'est une notion « très très délicate », et accepte une définition imparfaite. L'idée : c'est la quantité d'information qui peut varier librement. Prends 5 personnes dont tu sais que l'âge moyen est 20 ans. Tu peux choisir librement les quatre premiers âges : 18, 19, 21, 20. Le cinquième, lui, n'est plus libre : il doit valoir 22, sinon la moyenne ne serait plus 20. Sur 5 valeurs, seules 4 (n − 1) sont libres : 4 degrés de liberté.
En pratique, σ est presque toujours inconnu. SPSS utilise donc toujours la loi de Student, avec n − 1 degrés de liberté. Plus n est grand, plus Student ressemble à la loi normale (et t se rapproche de 1,96).
5Ce que « 95 % de confiance » veut dire (et ne veut pas dire)
C'est LE point délicat du chapitre, et le professeur y consacre plusieurs diapositives. Regarde d'abord la simulation : on revient au mariage, où l'on connaît le vrai âge moyen µ = 40. On tire des échantillons, et pour chacun on calcule son intervalle à 95 %.
- µ est fixe, l'intervalle varieLa vraie moyenne de la population est un nombre, toujours le même. C'est l'intervalle qui change à chaque échantillon.
- Un intervalle donné contient µ, ou pasUne fois calculé, ton intervalle a attrapé µ ou l'a raté. Il n'y a plus de probabilité : on ne peut pas dire « il y a 95 % de chances que µ soit dedans ». Simplement, dans la vraie vie, on ne sait pas si on est dans un cas vert ou rouge.
- 95 %, c'est la fiabilité de la méthodeSi on répétait l'opération sur un très grand nombre d'échantillons, environ 95 % des intervalles contiendraient µ. C'est pour ça qu'on dit « je suis confiant à 95 % », et non « il y a 95 % de probabilité ».
Pense à une machine qui fabrique des filets de pêche. Elle est réglée pour que 95 % de ses filets attrapent le poisson. Tu reçois un filet et tu le lances : soit le poisson est dedans, soit il n'y est pas. Ta confiance, c'est la confiance dans la machine, pas une probabilité sur ce lancer-là.
✓ Ce qu'on écrit
“We are 95% confident that the population mean is between … and ….”
“If we repeated the sampling many times, about 95% of the intervals would contain the population mean.”
✗ Ce qu'on n'écrit jamais
“There is a 95% probability that the population mean is in the interval.”
“95% of the data are between … and ….”
“The sample mean is between … and ….”
6Largeur, confiance et taille : le compromis
Le professeur pose cette question : laquelle de ces trois phrases intéresse une entreprise ?
Phrase 1
« Je suis confiant à 99,99999 % que les clients dépenseront entre 10 € et 345 453 434 €. »
Très sûr, mais inutile : la fourchette ne dit rien.
Phrase 2
« Je suis confiant à 20 % que les clients dépenseront entre 10 € et 10,04 €. »
Très précis, mais on n'y croit pas.
Phrase 3
« Je suis confiant à 95 % que les clients dépenseront entre 10 € et 11 €. »
Assez sûr et assez précis : utile.
Les trois sont des intervalles de confiance corrects. Mais un intervalle est toujours un compromis entre largeur et confiance : plus il est large, plus on est confiant, et moins il est utile. Trois leviers jouent sur la marge d'erreur \( t \times s/\sqrt{n} \) :
| Si tu… | La marge d'erreur… | Pourquoi |
|---|---|---|
| augmentes le niveau de confiance (95 % → 99 %) | augmente | t passe d'environ 1,96 à 2,58 : pour être plus sûr d'attraper µ, il faut un plus grand filet. |
| augmentes la taille n | diminue | √n est au dénominateur. Pour diviser la marge par 2, il faut 4 fois plus de données. |
| as des données plus dispersées (s grand) | augmente | s est au numérateur. Tu n'y peux rien : c'est la variable qui est comme ça. |
Avec les vraies données (âge des 979 clients de BankMarketing), voici l'effet du niveau de confiance :
| Niveau de confiance | t critique (df = 978) | Intervalle | Largeur |
|---|---|---|---|
| 90 % | 1,646 | [39,67 ; 40,65] | 0,98 an |
| 95 % | 1,962 | [39,57 ; 40,75] | 1,17 an |
| 99 % | 2,581 | [39,39 ; 40,93] | 1,54 an |
Les trois intervalles sont centrés sur la même estimation (40,16 ans) ; seule la marge change.
7Petit échantillon : la règle du cours
La formule repose sur le théorème central limite : x̄ suit une loi normale. Avec un grand échantillon, c'est garanti quelle que soit la forme des données. Avec un petit échantillon, ce n'est vrai que si la variable elle-même est normale. D'où la règle du cours (chapitre 2, partie 2) :
Exemple réel : la richesse familiale (Wealth, en M$) des 14 étudiants de première année (Freshman) de StudentSurvey. La variable est très asymétrique : médiane 1,5 M$, mais quelques familles à 100 M$ tirent la moyenne à 21,83 M$. Le test de Shapiro-Wilk rejette nettement la normalité (p < 0,001).
SPSS calcule quand même l'intervalle à 95 % : [−0,05 ; 43,71] M$. Une richesse moyenne négative ? C'est absurde, et c'est la preuve que la formule ne marche pas ici. n = 14 < 50 et variable non normale : STOP. C'est à toi de vérifier les conditions, pas au logiciel.
8Dans SPSS : la procédure Explore
Question : quel est l'âge moyen des clients de la banque ? On a un échantillon de 979 clients (fichier BankMarketing).
→ Dependent List : Age → bouton Statistics… : coche Descriptives, Confidence Interval for Mean : 95 % → Continue → OK.
Case Processing Summary
| Cases | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Valid | Missing | Total | ||||
| N | Percent | N | Percent | N | Percent | |
| Age | 979 1 | 100.0% | 0 | 0.0% | 979 | 100.0% |
Descriptives
| Statistic | Std. Error | |||
|---|---|---|---|---|
| Age | Mean | 40.16 2 | .299 3 | |
| 95% Confidence Interval for Mean | Lower Bound | 39.57 4 | ||
| Upper Bound | 40.75 | |||
| 5% Trimmed Mean | 39.97 | |||
| Median | 38.00 | |||
| Variance | 87.546 | |||
| Std. Deviation | 9.357 5 | |||
| Minimum | 20 | |||
| Maximum | 61 | |||
| Range | 41 | |||
| Interquartile Range | 14 | |||
| Skewness | .384 | .078 | ||
| Kurtosis | -.726 | .156 | ||
- 1N = 979 valides, 0 manquant : n = 979, bien plus que 50. Pas besoin de vérifier la normalité.
- 2Mean = 40,16 : l'estimation ponctuelle x̄.
- 3Std. Error = 0,299 : l'erreur standard s/√n.
- 4L'intervalle de confiance à 95 % : de 39,57 (Lower Bound) à 40,75 ans (Upper Bound). C'est la réponse à la question.
- 5Std. Deviation = 9,357 : l'écart-type s des âges des clients. À ne pas confondre avec l'erreur standard.
Pour un intervalle à 90 % ou à 99 %, il suffit de changer le chiffre dans Statistics… › Confidence Interval for Mean. On obtient alors les intervalles du tableau de la section précédente.
Retrouvons le résultat de SPSS à la main.
- Les ingrédients : x̄ = 40,16 ; s = 9,357 ; n = 979.
- Erreur standard : \( s/\sqrt{n} = 9{,}357 / \sqrt{979} = 9{,}357 / 31{,}29 = 0{,}299 \). C'est bien le Std. Error de SPSS.
- Degrés de liberté : 979 − 1 = 978, donc t = 1,962 (presque 1,96).
- Marge d'erreur : \( 1{,}962 \times 0{,}299 = 0{,}587 \) an.
- Intervalle : \( [40{,}160 - 0{,}587 \ ;\ 40{,}160 + 0{,}587] = [39{,}573 \ ;\ 40{,}747] \), soit [39,57 ; 40,75]. ✓
Pour aller plus loin : l'intervalle caché dans le test t (facultatif)
Le test t à un échantillon (chapitre 3) affiche aussi un intervalle, mais c'est celui de la différence µ − valeur testée. Pour le GPA testé contre 3, SPSS donne [0,034 ; 0,185]. Ajoute 3 : [3,034 ; 3,185]. C'est exactement l'intervalle du GPA moyen qu'Explore donne directement : [3,03 ; 3,19].
9Rédiger comme à l'examen
Une bonne interprétation contient toujours quatre éléments :
- Le niveau de confiance« We are 95% confident… »
- Le paramètre, en contexteLa moyenne de la population (de quoi ? de qui ?) : « the mean age of the bank's clients ».
- Les deux bornesAvec les valeurs lues dans SPSS : 39.57 et 40.75.
- L'unité« years », « euros », « points »…
Pour l'âge des clients de BankMarketing :
We are 95% confident that the mean age of the bank's clients (in the population) is between 39.57 and 40.75 years.
Et si on te demande pourquoi on utilise la loi de Student :
We use the Student distribution because the population standard deviation σ is unknown and is estimated by the sample standard deviation s. This adds uncertainty, so the interval is a little wider than with the normal distribution. The degrees of freedom are n − 1; when n is large, the Student distribution is very close to the normal distribution.
10Les cinq contresens à éviter
« Il y a 95 % de probabilité que µ soit entre 39,57 et 40,75. »
Non. µ est fixe : il est dedans ou il n'y est pas. Le 95 % décrit la méthode (95 % des intervalles construits ainsi contiennent µ). On écrit « We are 95% confident ».
« 95 % des clients ont entre 39,57 et 40,75 ans. »
Non ! L'intervalle concerne la moyenne, pas les individus. Les clients ont de 20 à 61 ans. En réalité, seuls 38 clients sur 979 (3,9 %) ont un âge dans cet intervalle : ceux qui ont exactement 40 ans. Le cours insiste : un niveau de 95 % ne veut pas dire que 95 % des données sont dans l'intervalle.
« La moyenne de l'échantillon est entre 39,57 et 40,75. »
Non : la moyenne de l'échantillon, on la connaît exactement (40,16). Pas besoin d'intervalle pour elle. L'intervalle concerne la moyenne de la population µ, qui est inconnue.
« Plus le niveau de confiance est élevé, meilleur est l'intervalle. »
Non : à 99,99999 %, on obtient « entre 10 € et 345 453 434 € ». Un intervalle trop large ne sert à rien. 95 % est le compromis le plus courant.
« SPSS m'a donné un intervalle, donc il est valable. »
Non : si n < 50 et que la variable n'est pas normale, la formule ne s'applique pas (exemple de la richesse des Freshmen). Vérifie toujours n, puis la normalité si besoin.
D'après le cours, pas de calcul à la main ni de lecture de table statistique à l'examen. On attend que tu saches :
- trouver l'intervalle dans la sortie Explore (Lower Bound, Upper Bound) ;
- l'interpréter avec la phrase « We are 95% confident that… », sans contresens ;
- expliquer pourquoi on utilise Student et ce qu'est un degré de liberté ;
- vérifier la condition n ≥ 50 ou la normalité.
11Teste-toi
La sortie Explore donne, pour l'âge des clients, un intervalle de confiance à 95 % de [39,57 ; 40,75]. Quelle phrase est correcte ?
- 95 % des clients ont entre 39,57 et 40,75 ans Contresens n° 2 : l'intervalle concerne la moyenne, pas les individus. En fait, à peine 4 % des clients sont dans cette fourchette.
- We are 95% confident that the mean age of all the bank's clients is between 39.57 and 40.75 years Oui : niveau de confiance, moyenne de la population, deux bornes, unité.
- There is a 95% probability that the sample mean is between 39.57 and 40.75 Double erreur : on ne parle pas de probabilité, et la moyenne de l'échantillon est connue (40,16).
Tu passes d'un intervalle à 95 % à un intervalle à 99 %, sur les mêmes données. L'intervalle devient…
- plus étroit Non : pour être plus sûr d'attraper µ, il faut un filet plus grand. t passe de 1,962 à 2,581.
- identique Non : le centre reste le même (40,16), mais la marge d'erreur change avec le niveau de confiance.
- plus large Oui : [39,39 ; 40,93] au lieu de [39,57 ; 40,75]. Plus de confiance, moins de précision.
Pourquoi SPSS utilise-t-il la loi de Student plutôt que la loi normale pour l'intervalle d'une moyenne ?
- Parce que σ est inconnu et remplacé par s, ce qui ajoute de l'incertitude Oui : c'est exactement la raison. Student est un peu plus large pour en tenir compte.
- Parce que les données ne sont pas normales Non : Student ne corrige pas un défaut de normalité. Avec un petit échantillon non normal, c'est STOP.
- Seulement parce que n est petit Pas seulement : SPSS utilise Student même avec n = 979 (t = 1,962). Avec un grand n, Student et la normale se confondent presque.
Tu as les salaires de 20 employés. L'histogramme est très asymétrique et Shapiro-Wilk donne p = 0,003. Que fais-tu ?
- Je calcule l'intervalle dans Explore : SPSS le donne SPSS le donne, mais il n'est pas valable : n < 50 et variable non normale.
- STOP : je ne peux pas utiliser la formule habituelle Oui : c'est la règle du cours. n = 20 < 50 et la normalité est rejetée (p < 0,05).
- J'utilise z au lieu de t Non : le problème n'est pas Student contre normale, c'est que x̄ n'a aucune raison de suivre une loi normale ici.
On tire 100 échantillons et on calcule pour chacun un intervalle de confiance à 95 %. Combien contiennent la vraie moyenne µ ?
- Exactement 95 Pas exactement : c'est le hasard. En moyenne 95, mais on peut en avoir 92 ou 98.
- Environ 95 Oui : c'est le sens du niveau de confiance. Essaie dans la simulation « 100 échantillons ».
- Tous, puisqu'ils sont bien calculés Non : environ 5 % des échantillons sont malchanceux, et leur intervalle rate µ sans aucune erreur de calcul.
En résumé
- IC = estimation ponctuelle ± marge d'erreur ; pour une moyenne : \( \bar{x} \pm t_{\alpha/2;n-1}\, s/\sqrt{n} \) (Student, car σ est inconnu ; df = n − 1).
- « We are 95% confident that the population mean is between … and … » : µ est fixe, c'est l'intervalle qui varie ; 95 % des intervalles ainsi construits contiennent µ.
- 95 % ne veut pas dire que 95 % des données sont dans l'intervalle.
- Plus de confiance → plus large ; plus de données → plus étroit (n × 4 → marge ÷ 2).
- Si n < 50, la variable doit être normale ; sinon, STOP. Dans SPSS : Explore, lignes Lower Bound / Upper Bound.
Pour t'entraîner : exercices du chapitre 2.
Tu as tout compris ?
Coche la leçon : ta progression s'affiche dans le menu.