Relier deux variables : tableaux croisés et corrélation
« Les femmes utilisent-elles plus les tablettes ? », « Plus on est âgé, plus on espère un gros salaire ? » Comment mesurer un lien entre deux variables, et pourquoi un lien ne prouve-t-il pas une cause ?
- Lire un tableau croisé et choisir le bon pourcentage (en ligne, en colonne, du total)
- Décrire un nuage de points : direction, forme, force, points aberrants
- Choisir entre Pearson, Spearman et Kendall, et interpréter un coefficient de corrélation
- Expliquer pourquoi une corrélation ne prouve pas une causalité
- Obtenir et lire les tableaux Crosstabs et Correlations de SPSS
Jusqu'ici, on a regardé les variables une par une. Mais les vraies questions d'entreprise portent sur des liens : le prix d'une maison dépend-il de sa surface ? Les clients plus âgés achètent-ils plus ? Cette leçon t'apprend à mesurer un lien… et la phrase la plus importante de toutes les statistiques : corrélation ne veut pas dire causalité.
1Ce que tu sais déjà
Dans la leçon 1, on a vu que le type des variables décide de l'outil. Pour deux variables, c'est encore plus vrai. Le cours résume la situation ainsi :
| Les deux variables sont… | On regarde | On mesure | Dans SPSS |
|---|---|---|---|
| qualitatives | un tableau croisé (barres groupées) | des pourcentages | Analyze › Descriptive Statistics › Crosstabs |
| quantitatives | un nuage de points | Pearson (lien linéaire) ou Spearman (lien monotone) | Analyze › Correlate › Bivariate |
| ordinales (ou une ordinale + une quantitative) | un nuage de points ou des boîtes | Spearman ou Kendall | Analyze › Correlate › Bivariate |
| une qualitative + une quantitative | des boîtes à moustaches côte à côte | médianes, moyennes par groupe | Analyze › Descriptive Statistics › Explore |
Le dernier cas, tu l'as vu à la fin de la leçon 3 (Spending selon le genre). Ici, on s'occupe des trois premiers.
2Deux variables qualitatives : le tableau croisé
Question : le type d'ordinateur dépend-il du genre ? On croise les deux variables : une ligne par genre, une colonne par type d'ordinateur, et dans chaque case le nombre d'étudiants concernés.
| Desktop | Laptop | Tablet | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Female | 8 | 40 | 7 | 55 |
| Male | 12 | 40 | 4 | 56 |
| Total | 20 | 80 | 11 | 111 |
Les effectifs bruts sont trompeurs dès que les groupes n'ont pas la même taille. On passe donc aux pourcentages… et c'est là que tout se joue, car il y en a trois sortes, qui ne répondent pas à la même question.
→ Row(s) : Gender → Column(s) : Computer → bouton Cells… : Counts « Observed » ; Percentages : coche Row, Column et Total → Continue → OK.
Gender * Computer Crosstabulation
| Computer | Total | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Desktop | Laptop | Tablet | ||||
| Gender | Female | Count | 8 | 40 | 7 | 55 |
| % within Gender | 14.5% | 72.7% | 12.7% 1 | 100.0% | ||
| % within Computer | 40.0% | 50.0% | 63.6% 2 | 49.5% | ||
| % of Total | 7.2% | 36.0% | 6.3% 3 | 49.5% | ||
| Male | Count | 12 | 40 | 4 | 56 | |
| % within Gender | 21.4% | 71.4% | 7.1% | 100.0% | ||
| % within Computer | 60.0% | 50.0% | 36.4% | 50.5% | ||
| % of Total | 10.8% | 36.0% | 3.6% | 50.5% | ||
| Total | Count | 20 | 80 | 11 | 111 | |
| % within Gender | 18.0% | 72.1% | 9.9% | 100.0% | ||
| % within Computer | 100.0% | 100.0% | 100.0% | 100.0% | ||
| % of Total | 18.0% | 72.1% | 9.9% | 100.0% | ||
- 1% within Gender (pourcentage en ligne) : parmi les femmes, 12,7 % utilisent une tablette (7 sur 55). Chaque ligne fait 100 %.
- 2% within Computer (pourcentage en colonne) : parmi les utilisateurs de tablette, 63,6 % sont des femmes (7 sur 11). Chaque colonne fait 100 %.
- 3% of Total : parmi tous les étudiants, 6,3 % sont des femmes qui utilisent une tablette (7 sur 111). Tout le tableau fait 100 %.
Le même chiffre 7 donne donc trois pourcentages très différents : 12,7 %, 63,6 % et 6,3 %. Aucun n'est faux, mais ils ne disent pas la même chose.
Le piège du « parmi… » : le groupe qui suit « parmi » (ou « given that », « among ») est celui qui fait 100 %.
« Parmi les femmes, 12,7 % ont une tablette » → on divise par le nombre de femmes (55) → % en ligne.
« Parmi les utilisateurs de tablette, 63,6 % sont des femmes » → on divise par le nombre d'utilisateurs de tablette (11) → % en colonne.
Le cours fait exactement cet exercice sur le fichier Netflix : « parmi ceux qui ont fait some college, 49,5 % ne sont pas mariés » et « parmi les non-mariés, 23,1 % ont un diplôme universitaire » sont deux lectures du même tableau, dans deux sens différents.
Pour comparer deux groupes, on calcule les pourcentages à l'intérieur de chaque groupe. Ici, on compare les femmes et les hommes, donc on lit les % en ligne (within Gender) :
Ces différences sont-elles assez nettes pour dire que le genre et le type d'ordinateur sont liés dans toute la population, ou viennent-elles du hasard de l'échantillon ? Le tableau croisé ne le dit pas : il faudra le test du khi-deux, au chapitre 3.
3Deux variables quantitatives : le nuage de points
Pour deux variables quantitatives, on dessine un nuage de points (scatter plot) : un point par cas. La tradition : la variable explicative (X) en abscisse, la variable expliquée (Y) en ordonnée. Le cours demande d'y repérer quatre choses :
- La directionPositive (quand X augmente, Y a tendance à augmenter) ou négative (Y a tendance à diminuer).
- La formeLinéaire (les points suivent à peu près une droite) ou non linéaire (une courbe).
- La forceForte si les points sont serrés autour d'une droite imaginaire, faible s'ils en sont loin.
- Les points aberrantsUn point qui ne suit pas la tendance générale (bivariate outlier).
Voici le vrai nuage de l'âge et du salaire espéré pour les 111 étudiants :
4Mesurer un lien linéaire : le r de Pearson
Le coefficient de corrélation de Pearson résume en un nombre la force d'un lien linéaire entre deux variables quantitatives. On le note \(r\) pour l'échantillon et \(\rho\) (« rho ») pour la population.
- \(r\) est toujours compris entre −1 et +1.
- Le signe donne la direction : positif = les deux variables montent ensemble ; négatif = l'une monte quand l'autre descend.
- La valeur absolue donne la force du lien linéaire. Échelle du cours :
| |r| | Corrélation |
|---|---|
| de 0 à 0,4 | très faible à faible |
| de 0,4 à 0,6 | modérée |
| de 0,6 à 1 | forte |
Un \(r\) proche de 0 veut dire « pas de lien linéaire ». Attention : il peut quand même exister un lien en courbe (en U, par exemple), ou pas de lien du tout. D'où l'importance de toujours regarder le nuage avant le chiffre. Manipule :
Les conditions pour utiliser Pearson, d'après le cours :
- deux variables quantitatives ;
- un lien à peu près linéaire (le nuage ressemble à une droite qui monte ou qui descend) ;
- pas trop de valeurs aberrantes ;
- des variables à peu près normales (« honnêtement, la plupart des gens sautent cette condition », reconnaît le professeur).
Le cours montre le célèbre « quartet d'Anscombe » : quatre nuages de points complètement différents (une droite bruitée, une courbe, une droite parfaite avec un point aberrant, des points tous alignés verticalement sauf un) qui donnent le même r. Pearson n'est légitime que dans le premier cas. Moralité : un coefficient sans graphique, c'est conduire les yeux fermés.
5Spearman et Kendall : travailler sur des rangs
Un lien est monotone quand il va toujours dans le même sens (toujours croissant ou toujours décroissant), sans forcément suivre une droite : une courbe exponentielle ou logarithmique est monotone. Une parabole en U ne l'est pas (elle descend puis remonte).
La corrélation de Spearman (\(\rho\) ou \(r_s\)) remplace chaque valeur par son rang (1er, 2e, 3e…), puis applique Pearson sur les rangs. Elle mesure donc un lien monotone, et comme elle ne regarde que l'ordre, elle résiste aux valeurs aberrantes. On l'utilise :
- quand le lien est monotone mais pas linéaire ;
- quand il y a des valeurs aberrantes ;
- quand au moins une des variables est ordinale (un classement, une échelle de Likert, Class…).
L'exemple du cours : cinq restaurants classés sur trois critères.
| Restaurant | Qualité de la nourriture | Rapidité | Service |
|---|---|---|---|
| Kebab | 1er | 1er | 5e |
| Fast Pizza | 2e | 2e | 4e |
| Fresh made | 3e | 3e | 3e |
| Meal-meal | 4e | 5e | 2e |
| Tacossa | 5e | 4e | 1er |
- Qualité et rapidité : les rangs sont presque identiques (seuls Meal-meal et Tacossa sont inversés). Spearman = 0,9 : lien positif très fort.
- Qualité et service : les rangs sont exactement inversés. Spearman = −1 : lien négatif parfait.
Pour comprendre : d'où viennent 0,9 et −1 (et le tau de Kendall)
Spearman. Sans ex aequo, il existe un raccourci : \( \rho = 1 - \dfrac{6 \sum d_i^2}{n(n^2-1)} \), où \(d_i\) est l'écart de rang de chaque restaurant. Qualité / rapidité : les écarts sont 0, 0, 0, −1, +1, donc \(\sum d_i^2 = 2\) et \(\rho = 1 - \dfrac{6 \times 2}{5 \times 24} = 1 - 0{,}1 = 0{,}9\).
Kendall compte les paires de restaurants. Avec 5 restaurants, il y a 10 paires. Une paire est concordante si les deux critères la rangent dans le même ordre, discordante sinon. Qualité / rapidité : 9 paires concordantes, 1 discordante (Meal-meal / Tacossa), donc \(\tau = (9 - 1)/10 = 0{,}8\). Qualité / service : les 10 paires sont discordantes, \(\tau = -1\).
Les calculs à la main ne sont pas demandés à l'examen : c'est SPSS qui calcule. Mais savoir d'où vient le nombre aide à l'interpréter.
La corrélation de Kendall (\(\tau\), « tau ») suit une logique différente (concordance des paires) mais s'utilise dans les mêmes situations, surtout avec des variables ordinales, de petits échantillons ou beaucoup d'ex aequo. Le professeur est rassurant : « à ton niveau, savoir utiliser correctement l'un ou l'autre à la place de Pearson suffit ». Les deux vont de −1 à +1 et se lisent comme Pearson.
Exemple réel : après avoir recodé Class en 1 (Freshman) à 4 (Senior), sa corrélation avec l'âge vaut 0,682 avec Spearman et 0,575 avec Kendall : un lien fort et positif. Sans surprise, les étudiants des années supérieures sont plus âgés.
Pearson : deux quantitatives, lien linéaire, peu de valeurs aberrantes.
Spearman : lien monotone, valeurs aberrantes, ou variables ordinales.
Kendall : variables ordinales, petits échantillons, nombreux ex aequo.
Lien qui n'est ni linéaire ni monotone : aucun des trois ne convient (le cours renvoie à la régression, plus tard).
6Les vrais résultats dans SPSS
→ Variables : Age, Salary → Correlation Coefficients : coche Pearson, Kendall's tau-b et Spearman → Test of Significance : Two-tailed → « Flag significant correlations » → OK.
Pour le nuage : → Scatter/Dot → Simple Scatter → Age sur l'axe X, Salary sur l'axe Y.
Correlations
| Age | Salary | ||
|---|---|---|---|
| Age | Pearson Correlation | 1 | .224* 1 |
| Sig. (2-tailed) | .018 2 | ||
| N | 111 | 111 | |
| Salary | Pearson Correlation | .224* | 1 |
| Sig. (2-tailed) | .018 | ||
| N | 111 | 111 | |
*. Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).
Nonparametric Correlations
| Age | Salary | |||
|---|---|---|---|---|
| Kendall's tau_b | Age | Correlation Coefficient | 1.000 | .106 |
| Sig. (2-tailed) | . | .140 | ||
| N | 111 | 111 | ||
| Salary | Correlation Coefficient | .106 | 1.000 | |
| Sig. (2-tailed) | .140 | . | ||
| N | 111 | 111 | ||
| Spearman's rho | Age | Correlation Coefficient | 1.000 | .136 3 |
| Sig. (2-tailed) | . | .155 | ||
| N | 111 | 111 | ||
| Salary | Correlation Coefficient | .136 | 1.000 | |
| Sig. (2-tailed) | .155 | . | ||
| N | 111 | 111 | ||
- 1r de Pearson = 0,224 : positif, donc les plus âgés ont tendance à espérer un peu plus ; mais |r| < 0,4, donc le lien linéaire est faible. Le tableau est symétrique : la même valeur apparaît deux fois, et la diagonale vaut 1 (une variable est parfaitement corrélée avec elle-même).
- 2Sig. (2-tailed) et l'étoile servent à savoir si ce lien existe aussi dans la population, ou s'il peut venir du hasard de l'échantillon. C'est un test : on l'expliquera dans la leçon sur le test d'une corrélation. Pour l'instant, concentre-toi sur le coefficient.
- 3Spearman = 0,136 (et Kendall = 0,106) : encore plus faible que Pearson. Quand Pearson est nettement au-dessus de Spearman, c'est souvent que quelques points extrêmes créent l'essentiel du lien linéaire.
C'est exactement ce qui se passe ici. Les trois étudiants les plus âgés (28, 30 et 30 ans) espèrent 75, 85 et 65 k$. Si on les retire, Pearson tombe de 0,224 à 0,072 sur les 108 étudiants restants : le « lien » reposait sur trois personnes. Spearman, qui ne regarde que les rangs, était moins impressionné dès le départ.
Autre vrai résultat, sans aucun lien cette fois : le nombre de SMS par jour et le GPA.
7Corrélation n'est pas causalité
C'est, selon le cours, « probablement la phrase la plus importante des statistiques ». Une corrélation mesure seulement la force d'une association : elle ne dit jamais pourquoi les deux variables bougent ensemble. Le piège s'appelle la corrélation fallacieuse (spurious correlation) : deux variables liées mathématiquement, mais sans lien de cause à effet. Le site Spurious Correlations de Tyler Vigen en collectionne des dizaines, toutes plus absurdes les unes que les autres.
Face à toute corrélation, le cours te demande de passer quatre contrôles :
- Une troisième variable ?Cherche une variable confondante qui influence les deux. Exemple du cours : plus les gens sont grands, moins ils achètent de shampooing. Explication : les hommes sont en moyenne plus grands que les femmes… et achètent moins de shampooing. C'est le genre qui agit, pas la taille.
- La causalité est-elle inversée ?On pense que les fêtes rendent les étudiants en retard le matin. Mais peut-être que les étudiants qui savent qu'ils peuvent arriver en retard sortent davantage. La « conséquence » peut être la cause.
- Une coïncidence ?Avec des milliers de variables (Big Data), certaines seront corrélées par pur hasard. Plus on cherche, plus on trouve de fausses pistes.
- Des données dans le temps ?Deux séries qui augmentent toutes les deux avec les années semblent liées. Le cancer est plus fréquent quand la population vieillit, mais on vit aussi plus longtemps et on détecte mieux les cancers. Les données temporelles sont « toujours dangereuses ».
Et notre corrélation âge-salaire ? Même si elle était solide, l'âge ne « cause » pas l'ambition salariale. Une explication plus plausible passerait par une troisième variable : les étudiants plus âgés sont plus avancés dans leurs études, ont peut-être déjà travaillé, et connaissent mieux le marché.
Correlation does not imply causation. Une corrélation mesure la force d'une association ; elle ne dit jamais laquelle des deux variables agit sur l'autre, ni même si l'une agit sur l'autre. Pour parler de cause, il faut une expérience contrôlée (comme le test du panier bleu ou rouge) ou des arguments bien plus solides.
8Rédiger comme à l'examen
Pour commenter une corrélation : le coefficient choisi et pourquoi, la direction, la force (avec l'échelle du cours), et la prudence sur la causalité.
The Pearson correlation between age and expected salary is r = 0.224: the relationship is positive but weak (|r| < 0.4). Spearman's rho is even lower (0.136), which suggests that a few older students drive most of the linear relationship. In any case, correlation does not imply causation: a third variable, such as the year of study or work experience, could explain this association.
Pour un tableau croisé, nomme toujours le groupe de référence :
Among female students, 12.7% use a tablet, compared with 7.1% of male students. Among tablet users, 63.6% are women.
9Les pièges à éviter
« 63,6 % des femmes utilisent une tablette. »
Non : 63,6 % des utilisateurs de tablette sont des femmes. Parmi les femmes, seules 12,7 % utilisent une tablette. Avant d'écrire un pourcentage, demande-toi quel groupe fait 100 %.
« r = 0, donc les deux variables n'ont aucun rapport. »
r = 0 veut dire « pas de lien linéaire ». Un lien en U donne un r proche de 0. Regarde toujours le nuage de points.
« r = −0,8, c'est un lien faible car le nombre est négatif. »
Le signe donne la direction, la valeur absolue donne la force. r = −0,8 est un lien fort et négatif.
« La corrélation est forte, donc X cause Y. »
Jamais. Variable confondante, causalité inversée, coïncidence, effet du temps : une corrélation ne prouve aucune causalité.
10Teste-toi
Dans le tableau croisé Gender × Computer, quel pourcentage répond à la question « parmi les hommes, quelle part utilise un ordinateur fixe (Desktop) ? »
- 60,0 % C'est un pourcentage en colonne : parmi les utilisateurs de Desktop, 60 % sont des hommes (12 sur 20).
- 10,8 % C'est le pourcentage du total : 12 hommes en Desktop sur les 111 étudiants.
- 21,4 % Oui : « parmi les hommes » → on divise par le nombre d'hommes, 12 sur 56. C'est le % within Gender.
Entre deux variables, SPSS donne r = −0,75. Comment le décris-tu ?
- Un lien linéaire fort et négatif Oui : |r| = 0,75 > 0,6 (fort), et le signe moins indique que l'une diminue quand l'autre augmente.
- Un lien faible, car r est négatif Le signe donne la direction, pas la force. La force se lit sur |r|.
- Un lien modéré L'échelle du cours place « modéré » entre 0,4 et 0,6. Ici |r| = 0,75.
Tu veux mesurer le lien entre Class (Freshman à Senior) et Satisfaction (de 1 à 7). Quel coefficient choisis-tu ?
- Pearson, puisque les deux sont codées par des nombres Class est ordinale : les écarts entre « années » ne sont pas des quantités mesurées. Pearson demande deux variables quantitatives.
- Spearman ou Kendall Oui : ce sont des coefficients de rangs, faits pour les variables ordinales.
- Un tableau croisé avec des pourcentages Possible pour décrire, mais on perdrait l'ordre des catégories. Pour mesurer la force d'un lien entre deux variables ordinales, on prend Spearman ou Kendall.
Pearson vaut 0,02 entre deux variables, mais le nuage de points dessine un U très net. Que conclus-tu ?
- Il n'y a aucun lien entre les deux variables Le nuage montre un lien évident. Pearson ne voit que les liens linéaires.
- Il y a un lien, mais il n'est ni linéaire ni monotone : Pearson (et Spearman) ne conviennent pas Oui : un U descend puis remonte. Aucun des coefficients du chapitre ne mesure ce type de lien ; le cours renvoie à d'autres méthodes (régression).
- Il faut utiliser Spearman, qui trouvera un lien fort Spearman mesure un lien monotone. Un U n'est pas monotone : Spearman serait lui aussi proche de 0.
Plus il y a de pompiers sur un incendie, plus les dégâts sont importants (forte corrélation). Que faut-il en penser ?
- Les pompiers causent des dégâts : il faut en envoyer moins C'est confondre corrélation et causalité.
- La corrélation est fausse, SPSS s'est trompé La corrélation est bien réelle : c'est son interprétation qui pose problème.
- Une variable confondante, la taille de l'incendie, fait monter les deux Oui : un gros incendie attire beaucoup de pompiers et fait beaucoup de dégâts. Les pompiers ne sont pas la cause.
En résumé
- Deux qualitatives : tableau croisé. Le groupe qui suit « parmi » fait 100 % ; pour comparer des groupes, calcule les % à l'intérieur de chaque groupe.
- Deux quantitatives : nuage de points (direction, forme, force, points aberrants), puis un coefficient entre −1 et +1.
- Échelle : |r| < 0,4 faible ; 0,4 à 0,6 modéré ; > 0,6 fort. Le signe donne la direction.
- Pearson = lien linéaire (quantitatives, peu d'aberrants) ; Spearman = lien monotone, rangs, ordinales ; Kendall = ordinales, petits échantillons.
- Vrais chiffres : Age-Salary, Pearson 0,224 mais Spearman 0,136 (trois étudiants âgés font le lien) ; GPA-SMS ≈ 0.
- Corrélation ≠ causalité : variable confondante, causalité inversée, coïncidence, données temporelles.
Pour t'entraîner : exercices du chapitre 1. Le « Sig. » des tableaux sera expliqué au chapitre 3 (tester une corrélation).
Tu as tout compris ?
Coche la leçon : ta progression s'affiche dans le menu.