Voir les données : histogramme et boîte à moustaches
Le cours demande de « détecter une valeur aberrante avec un histogramme et une boîte à moustaches ». Comment lire ces graphiques, et que faire d'un point isolé tout en haut ?
- Choisir le bon graphique selon le type de variable (barres, camembert, histogramme, boîte à moustaches)
- Lire la forme d'une distribution sur un histogramme : symétrique, asymétrique, « en cloche »
- Lire une boîte à moustaches de SPSS et retrouver les limites Q1 − 1,5 × IQR et Q3 + 1,5 × IQR
- Repérer les valeurs aberrantes et savoir quoi en faire
- Comparer deux groupes avec des boîtes à moustaches côte à côte
Un graphique montre en une seconde ce que les nombres cachent : une forme bizarre, une erreur de saisie, deux groupes qui ne se ressemblent pas. C'est pour ça que le cours insiste : avant tout calcul, on regarde. Et à l'examen comme dans le cas Vinci, on te demandera de repérer les valeurs aberrantes avec un histogramme et une boîte à moustaches.
1Ce que tu sais déjà
La leçon 1 t'a appris à reconnaître le type d'une variable, la leçon 2 à la résumer : moyenne et médiane pour le centre, écart-type et écart interquartile (IQR = Q3 − Q1) pour la dispersion. Tu sais aussi que la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes alors que la médiane y résiste.
Les graphiques suivent la même logique : le type de la variable décide du graphique. Variable qualitative : on compte, puis barres ou camembert. Variable quantitative : histogramme et boîte à moustaches.
2Une variable qualitative : compter, puis dessiner
Première étape : le tableau des effectifs (frequency table, ou summary table dans le cours), qui compte combien de cas tombent dans chaque catégorie. Voici la vraie sortie SPSS pour le type d'ordinateur des 111 étudiants :
→ Variable(s) : Computer → laisse cochée « Display frequency tables » → bouton Charts… : Bar charts (ou Pie charts), Chart Values : Percentages → OK.
Computer
| Frequency 1 | Percent | Valid Percent 2 | Cumulative Percent | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Valid | Desktop | 20 | 18.0 | 18.0 | 18.0 |
| Laptop | 80 | 72.1 | 72.1 | 90.1 | |
| Tablet | 11 | 9.9 | 9.9 | 100.0 | |
| Total | 111 | 100.0 | 100.0 | ||
- 1Frequency = l'effectif : 80 étudiants sur 111 utilisent un ordinateur portable. C'est le mode de la variable.
- 2Percent est calculé sur tous les cas, Valid Percent seulement sur ceux qui ont répondu. Ici il n'y a aucune non-réponse, donc les deux colonnes sont identiques. S'il y avait des valeurs manquantes, c'est Valid Percent qu'on commenterait.
Ensuite, on dessine. Le cours est clair : « Nothing else to say about that, save that we like to see proper labels, named axes and percentages ». Des étiquettes lisibles, des axes nommés, des pourcentages.
Diagramme en barres
Pour comparer les catégories entre elles. Il marche avec beaucoup de catégories. Pour une variable ordinale, garde l'ordre logique (Freshman → Senior), pas l'ordre alphabétique.
Camembert
Pour montrer des parts d'un tout, avec peu de catégories (5 ou 6 au maximum). Avec 12 métiers, il devient illisible : le cours le fait remarquer sur un de ses exemples.
3Une variable quantitative : l'histogramme
Pour une variable quantitative, compter chaque valeur n'a pas de sens (il y a presque autant de GPA différents que d'étudiants). On regroupe les valeurs en classes de même largeur (bins), puis on dessine une barre par classe : sa hauteur est le nombre de cas dans cet intervalle.
Un histogramme n'est pas un diagramme en barres :
- l'axe horizontal est une échelle de nombres continue, donc les barres se touchent ;
- chaque barre regroupe un intervalle de valeurs (de 2,95 à 3,15 par exemple), pas une catégorie ;
- la largeur des classes change l'allure du graphique : trop large, on ne voit rien ; trop fine, on ne voit que du bruit.
Lire la forme d'une distribution
Sur un histogramme, on regarde d'abord la forme. Trois cas reviennent tout le temps :
La forme « en cloche », symétrique, porte un nom : la loi normale (normal distribution). Beaucoup de méthodes du chapitre 3 supposent des données à peu près normales ; on apprendra à le vérifier dans la leçon sur la normalité. Pour l'instant, retiens qu'on le juge d'abord à l'œil, sur l'histogramme.
Voici maintenant une variable franchement asymétrique : les dépenses par semestre.
Et un cas extrême : la fortune familiale déclarée (Wealth, en millions de dollars).
Le cours remarque qu'un histogramme « empilé » (hommes et femmes dans les mêmes barres, en deux couleurs) est une mauvaise idée : on ne compare rien. Pour comparer deux groupes, on fait deux histogrammes côte à côte… ou, encore mieux, des boîtes à moustaches côte à côte.
4La boîte à moustaches
La boîte à moustaches (box plot) dessine le résumé en 5 nombres de la leçon 2. La « boîte » va de Q1 à Q3 (elle contient donc la moitié centrale des données), un trait marque la médiane, et les « moustaches » s'étirent vers les valeurs plus petites et plus grandes.
La règle des 1,5 × IQR
La boîte à moustaches de SPSS (ou de n'importe quel logiciel) sert surtout à détecter les valeurs aberrantes. SPSS calcule Q1, la médiane et Q3, puis deux limites :
\(IQR = Q_3 - Q_1\) : l'écart interquartile, la hauteur de la boîte
Les moustaches s'arrêtent à la dernière vraie valeur située à l'intérieur des limites
Toute valeur au-delà d'une limite est une valeur aberrante potentielle, dessinée à part
- Les quartilesQ1 = 800, Q3 = 1 000 (sortie Frequencies de la leçon 2).
- L'écart interquartileIQR = 1 000 − 800 = 200.
- Les limitesBasse : 800 − 1,5 × 200 = 500. Haute : 1 000 + 1,5 × 200 = 1 300.
- Le verdictAucun étudiant ne dépense moins de 500 (minimum 570). Six étudiants dépassent 1 300 : 1 400, 1 500, 1 550, 1 600, 1 700 et 2 000 dollars. Ce sont six valeurs aberrantes potentielles.
Voici ce que SPSS dessine pour Spending (reproduction fidèle du graphique d'Explore) :
Dans une boîte à moustaches SPSS :
- la boîte = de Q1 à Q3 (la moitié centrale), le trait = la médiane ;
- les moustaches vont jusqu'aux dernières valeurs à l'intérieur de Q1 − 1,5 × IQR et Q3 + 1,5 × IQR ;
- ○ = valeur aberrante potentielle, * = valeur extrême (au-delà de 3 × IQR), avec le numéro de ligne à côté.
Une médiane plus proche du bas de la boîte et une moustache haute plus longue signalent une asymétrie à droite.
Pour Wealth, très asymétrique, le spectacle est encore plus net :
Pourquoi SPSS affiche parfois un Q3 un peu différent ?
Dans le tableau Percentiles d'Explore, SPSS donne deux lignes : Weighted Average (la méthode de la leçon 2, celle de Frequencies) et Tukey's Hinges. La boîte à moustaches utilise la seconde. Pour Wealth, cela donne Q3 = 7,5 d'un côté et 7,25 de l'autre. La différence est minime et ne change pas les conclusions : les mêmes 14 valeurs sont signalées. Ne te laisse pas déstabiliser si tu vois les deux.
5Que faire d'une valeur aberrante ?
Le réflexe du débutant : la supprimer, parce qu'elle « fausse la moyenne ». Mauvaise idée. Une valeur aberrante est une alerte, pas une poubelle. La démarche :
- Vérifier si c'est une erreurUn âge de 220 ans, un GPA de 31 sur 4, une durée d'appel négative : c'est une faute de frappe (22 ans, 3,1). Retourne à la source (le questionnaire, la base d'origine) et corrige.
- Si l'erreur est certaine mais impossible à corrigerRetire cette valeur (elle devient une valeur manquante) et signale-le dans ton rapport.
- Si la valeur est plausible, la garderUne famille à 100 M$, un étudiant qui dépense 2 000 dollars, un appel de 40 minutes : c'est rare, mais réel. C'est de l'information ! On la garde, et on résume plutôt avec la médiane et l'IQR.
- En cas de doute, comparerFaire l'analyse avec et sans la valeur, et dire si la conclusion change.
Dans le cas pratique Vinci, le professeur précise que « quelques points ont été mal placés » et qu'il faut modifier deux nombres dans le fichier : ce sont des erreurs de saisie qu'on repère sur l'histogramme et la boîte à moustaches, puis sur le nuage de points surface-prix. On les corrige ; on ne supprime pas les maisons.
6Comparer des groupes : des boîtes côte à côte
La boîte à moustaches devient redoutable quand on en met plusieurs côte à côte : une par groupe. Les femmes et les hommes de StudentSurvey dépensent-ils autant ?
Le cours montre la même chose sur le fichier Netflix avec le nombre d'années d'études selon la catégorie d'emploi : « la médiane est la même pour les vendeurs et les managers », « 50 % des managers ont étudié entre 15 et 23 ans ». Tu lis exactement de la même façon : médianes, boîtes, moustaches, points isolés.
Savoir si une différence observée entre deux groupes est « réelle » ou due au hasard, c'est l'objet d'un test statistique : on le fera dans la leçon sur la comparaison de deux moyennes.
7Dans SPSS : trois chemins vers les graphiques
→ Bar charts, Pie charts, ou Histograms (coche « Show normal curve on histogram » pour la courbe en cloche).
→ Dependent List : Spending → Factor List : Gender (pour avoir une boîte par groupe ; laisse vide pour une seule boîte) → Label Cases by : ID → bouton Plots… : Boxplots « Factor levels together », Descriptive : Histogram.
→ choisis un type dans la galerie (Bar, Histogram, Boxplot, Scatter/Dot) et fais glisser les variables sur les axes. C'est le plus souple.
- Explore coche par défaut un graphique « Stem-and-leaf » (tige et feuilles) : tu peux le décocher, on ne s'en sert pas.
- Les numéros à côté des ronds et des étoiles sont des numéros de ligne dans la Data View, pas des valeurs. Pour voir la valeur, va à la ligne correspondante.
- Chart Builder se sert de la colonne Measure pour savoir comment traiter une variable : une variable quantitative déclarée Nominal par erreur sera traitée comme des catégories. Vérifie la colonne Measure avant de tracer (leçon 1).
8Rédiger comme à l'examen
On attend une description en trois temps : forme, centre et dispersion, valeurs aberrantes (et ce qu'on en fait).
The histogram of Spending is right-skewed: most students spend between 600 and 1,200 dollars, with a long tail up to 2,000. The median (860) is therefore a better measure of the centre than the mean (917.52).
The box plot flags six potential outliers above the upper limit Q3 + 1.5 × IQR = 1,000 + 1.5 × 200 = 1,300 (cases 28, 58, 34, 29, 97 and 89). These values are plausible, so we keep them, but we should first check that they are not data entry errors.
9Les pièges à éviter
« Une valeur aberrante est une erreur, on la supprime. »
Non : « aberrante » veut dire « loin des autres », pas « fausse ». On vérifie d'abord ; on ne supprime que les erreurs certaines et impossibles à corriger.
« Les moustaches vont du minimum au maximum. »
Seulement s'il n'y a pas de valeur aberrante (comme pour l'âge des clients). Sinon, les moustaches s'arrêtent aux dernières valeurs à l'intérieur des limites, et les autres sont dessinées à part.
« La boîte contient la moitié des valeurs, donc elle est centrée sur la moyenne. »
La boîte est construite avec les quartiles et la médiane. La moyenne n'apparaît pas sur une boîte à moustaches classique.
10Teste-toi
Tu veux représenter Major (7 spécialités) pour les 111 étudiants. Quel graphique choisis-tu ?
- Un histogramme Un histogramme demande une variable quantitative découpée en intervalles. Major est qualitative nominale.
- Un diagramme en barres Oui : variable qualitative, 7 catégories. Les barres permettent de les comparer facilement.
- Une boîte à moustaches Elle repose sur des quartiles, qui n'existent pas pour une variable nominale.
Un camembert serait possible, mais avec 7 parts dont certaines minuscules (IS : 5,4 %, Undecided : 6,3 %), il serait difficile à lire.
Pour Salary (salaire espéré, en milliers de dollars), Q1 = 45 et Q3 = 60. Au-delà de quelle valeur SPSS signale-t-il une valeur aberrante ?
- 75 C'est Q3 + IQR. Il manque le facteur 1,5 : on ajoute 1,5 × IQR, pas 1 × IQR.
- 82,5 Oui : IQR = 60 − 45 = 15, et 60 + 1,5 × 15 = 82,5. Les trois étudiants qui espèrent 83 ou 85 k$ sont signalés.
- 90 C'est Q3 + 2 × IQR. La règle du cours est 1,5 × IQR.
Un histogramme a une longue queue vers la droite. Que peux-tu dire, sans aucun calcul ?
- La moyenne est probablement plus grande que la médiane Oui : les grandes valeurs de la queue tirent la moyenne vers la droite ; la médiane, elle, reste près du gros des données.
- La moyenne est probablement plus petite que la médiane C'est l'inverse : ce serait le cas d'une queue à gauche.
- La distribution est normale Une loi normale est symétrique : une longue queue d'un seul côté est justement le signe qu'elle ne l'est pas.
Sur la boîte à moustaches de l'âge, SPSS affiche une étoile étiquetée « 13 » tout en haut, à 220. Quelle est la bonne réaction ?
- Supprimer la ligne 13 du fichier Trop rapide : on perdrait toutes les autres réponses de cet étudiant, et peut-être pour rien.
- Aller voir la ligne 13 : 220 ans est impossible, c'est sûrement 22 mal tapé ; on corrige si on peut le vérifier Oui : un âge de 220 ans est une erreur de saisie certaine. On corrige à la source si possible, sinon on rend la valeur manquante.
- Ne rien faire, on utilisera la médiane La médiane limite les dégâts, mais une erreur certaine doit être corrigée : elle fausserait la moyenne, l'écart-type et toutes les analyses suivantes.
Dans une boîte à moustaches SPSS, que signifie une étoile « * » marquée « 89 » ?
- Que la valeur vaut 89 Non : le nombre est le numéro de ligne (case number), pas la valeur.
- Que le cas 89 est une erreur de saisie SPSS n'en sait rien : il signale une valeur très éloignée, à toi de vérifier si elle est fausse.
- Que le cas de la ligne 89 est une valeur extrême, à plus de 3 × IQR de la boîte Oui : rond = au-delà de 1,5 × IQR, étoile = au-delà de 3 × IQR. Pour Spending, c'est l'étudiant à 2 000 dollars.
En résumé
- Variable qualitative : tableau des effectifs (lis Valid Percent), puis diagramme en barres (ou camembert si peu de catégories).
- Variable quantitative : histogramme (forme : symétrique, asymétrique à droite ou à gauche) et boîte à moustaches.
- Asymétrie à droite → moyenne > médiane ; la moyenne est tirée du côté de la queue.
- Boîte = Q1 à Q3, trait = médiane ; limites Q1 − 1,5 × IQR et Q3 + 1,5 × IQR ; ○ aberrante, * extrême (au-delà de 3 × IQR), étiquetées par le numéro de ligne.
- Une valeur aberrante se vérifie avant tout : erreur → on corrige ; valeur réelle → on la garde et on préfère médiane et IQR.
- Des boîtes côte à côte permettent de comparer des groupes d'un coup d'œil.
Pour t'entraîner : exercices du chapitre 1. Leçon suivante : relier deux variables.
Tu as tout compris ?
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