La distribution d'échantillonnage et le théorème central limite
Si chaque échantillon donne une moyenne différente, comment peut-on faire confiance à une seule moyenne ?
- Expliquer ce qu'est la distribution d'échantillonnage de la moyenne
- Calculer et interpréter l'erreur standard σ/√n, et la distinguer de l'écart-type
- Énoncer le théorème central limite avec tes mots
- Utiliser la règle 68-95-99,7 et le nombre 1,96
- Standardiser une valeur (calculer un z) et dire ce qu'il signifie
Dans la leçon précédente, chaque table du mariage donnait une moyenne différente. Ça pourrait sembler décourageant : si l'estimation bouge tout le temps, à quoi sert-elle ? Bonne nouvelle : elle bouge selon des règles très précises, connues à l'avance. Ces règles (l'erreur standard et le théorème central limite) font tourner tous les intervalles de confiance et tous les tests du cours. Tu n'auras jamais à les démontrer, mais tu dois comprendre ce qu'elles disent.
1Ce que tu sais déjà
Dans la leçon 1, en tirant des tables au hasard au mariage (300 invités, µ = 40 ans, σ = 10 ans), on a vu trois choses :
- chaque table donne une moyenne différente ;
- ces moyennes tournent autour de 40 ;
- plus les tables sont grandes, moins les moyennes s'éloignent de 40.
Cette leçon met des chiffres sur ces trois constats : où est le centre des moyennes, quelle est leur dispersion, et quelle est leur forme.
2L'idée : la « population des moyennes »
Imagine que tu puisses tirer toutes les tables possibles de 25 invités, calculer à chaque fois la moyenne d'âge, puis faire l'histogramme de toutes ces moyennes. Cet histogramme a un nom : la distribution d'échantillonnage de la moyenne.
La moyenne d'un échantillon est elle-même une variable : elle change d'un tirage à l'autre. Sa distribution (la distribution d'échantillonnage) a trois propriétés connues à l'avance :
- son centre est µ ;
- sa dispersion est σ/√n (l'erreur standard) ;
- sa forme devient normale quand n est grand (le théorème central limite).
3Le centre : la moyenne des moyennes, c'est µ
Certaines tables sont trop jeunes, d'autres trop âgées, mais leurs erreurs se compensent. Si tu faisais la moyenne de toutes les moyennes de tables possibles, tu retomberais exactement sur l'âge moyen de tous les invités.
\(\mu_{\bar{x}}\) : la moyenne de toutes les moyennes d'échantillon possibles
\(\mu\) : la moyenne de la population (ici 40 ans)
C'est la définition d'un estimateur sans biais (leçon 1) : x̄ ne se trompe pas systématiquement dans le même sens.
4La dispersion : l'erreur standard
De combien les moyennes s'écartent-elles de µ, typiquement ? Leur écart-type porte un nom spécial : l'erreur standard (standard error, souvent notée SE).
\(\sigma_{\bar{x}}\) : l'erreur standard, c'est-à-dire l'écart-type des moyennes d'échantillon
\(\sigma\) : l'écart-type de la variable dans la population (au mariage : 10 ans)
\(n\) : la taille de chaque échantillon (le nombre d'invités par table)
Au mariage, avec σ = 10 ans :
| Invités par table (n) | √n | Erreur standard σ/√n | Ce que ça veut dire |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 10 ans | Un seul invité : aussi dispersé que la population. |
| 4 | 2 | 5 ans | Les moyennes s'écartent typiquement de 5 ans de µ. |
| 25 | 5 | 2 ans | Typiquement 2 ans d'écart avec µ. |
| 100 | 10 | 1 an | Typiquement 1 an d'écart. |
| 400 | 20 | 0,5 an | Six mois d'écart (il faudrait 400 invités !). |
À cause de la racine carrée, pour diviser l'erreur standard par 2, il faut multiplier n par 4.
Passer de 25 à 100 invités ne divise pas l'erreur par 4, seulement par 2. C'est pour ça que les sondages s'arrêtent souvent autour de 1 000 personnes : au-delà, chaque gain de précision coûte très cher.
Ne confonds surtout pas l'erreur standard avec l'écart-type du chapitre 1. Ils mesurent la dispersion de deux choses différentes :
Écart-type (σ ou s)
Dispersion des individus. Au mariage, un invité s'écarte typiquement de 10 ans de l'âge moyen.
Il ne diminue pas quand n augmente : interroger plus de monde ne rend pas les invités plus semblables.
Erreur standard (σ/√n)
Dispersion des moyennes. Avec des tables de 25, une moyenne s'écarte typiquement de 2 ans de µ.
Elle diminue quand n augmente : une grande table se trompe moins.
Dans la vraie vie, σ est inconnu. On le remplace par l'écart-type de l'échantillon s, et l'erreur standard devient s/√n. C'est elle que SPSS affiche sous le nom Std. Error (on le verra en fin de leçon).
Vérifie-le toi-même : tire 100 tables de 25 invités et compare les deux derniers chiffres sous le graphique.
Pour aller plus loin : pourquoi l'écart est un peu plus petit avec de très grandes tables ? (facultatif)
Si tu mets 50 ou 60 invités par table, l'écart-type mesuré devient un peu plus petit que σ/√n. La raison : au mariage, la population est petite (300 personnes). Une table de 60 contient déjà un cinquième des invités, donc elle ressemble forcément beaucoup à la population.
Dans le cours, on suppose toujours que la population est beaucoup plus grande que l'échantillon (des milliers de clients, des millions de Français), et cet effet devient négligeable. La formule σ/√n est alors exacte.
5La forme : le théorème central limite
Reste la question de la forme. Pour la voir, le cours utilise un exemple volontairement bizarre : la distribution des notes d'un examen.
| Note | 1 | 3 | 8 | 14 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité | 20 % | 10 % | 20 % | 20 % | 30 % |
Cette distribution n'a rien d'une cloche : beaucoup de très mauvaises notes, beaucoup de très bonnes, peu au milieu.
La moyenne de cette population (la « valeur attendue ») se calcule en pondérant chaque note par sa probabilité :
\( \mu = 1 \times 0{,}2 + 3 \times 0{,}1 + 8 \times 0{,}2 + 14 \times 0{,}2 + 18 \times 0{,}3 = 0{,}2 + 0{,}3 + 1{,}6 + 2{,}8 + 5{,}4 = 10{,}3 \)
Son écart-type vaut σ ≈ 6,65 (calcul du même type, avec les carrés des écarts ; tu n'auras pas à le faire).
Maintenant, au lieu de tirer un élève, tirons des groupes de n élèves au hasard et calculons la moyenne de chaque groupe. La simulation tire 2 000 groupes à chaque fois.
- Le centre ne bouge pasQuel que soit n, la moyenne des moyennes reste proche de µ = 10,3. C'est le « sans biais ».
- La largeur diminue comme σ/√n6,65/√5 ≈ 2,97 ; 6,65/√30 ≈ 1,21 ; 6,65/√50 ≈ 0,94. Compare avec les chiffres sous le graphique.
- La forme devient une clocheAvec n = 30 ou 50, l'histogramme ressemble à une loi normale, alors que la distribution de départ n'avait rien de normal.
Théorème central limite (TCL). Quand la taille de l'échantillon n est assez grande, la moyenne de l'échantillon suit approximativement une loi normale, centrée sur µ et d'écart-type σ/√n, quelle que soit la forme de la variable au départ.
« Assez grand » : n > 50 dans ce cours (30 dans beaucoup de livres).
\(\approx \mathcal{N}(\ldots)\) : « suit approximativement une loi normale de moyenne … et d'écart-type … »
Le centre est µ, la dispersion est l'erreur standard σ/√n.
Pourquoi est-ce si important ? Parce que la loi normale, on la connaît par cœur. Grâce au TCL, on sait de combien x̄ peut s'éloigner de µ, sans rien savoir de la forme des données. Et quand n est petit, ce filet de sécurité disparaît : c'est l'origine de la règle « n < 50 » que tu retrouveras pour les intervalles de confiance et les tests t.
Le TCL ne rend pas les données normales. Dans BankMarketing (979 clients), la durée des appels reste très asymétrique (asymétrie de 3,29 : quelques appels très longs). Avec 979 clients ou avec 10 000, l'histogramme des durées garde cette forme.
Ce qui devient normal, c'est la distribution de la moyenne de 979 durées, si on refaisait l'enquête encore et encore.
6La loi normale : 68-95-99,7 et le fameux 1,96
La loi normale est la courbe en cloche : symétrique, centrée sur sa moyenne, et entièrement définie par sa moyenne et son écart-type. Sa propriété magique : la proportion de valeurs situées à moins de « z écarts-types » du centre est toujours la même, quelle que soit la variable.
| Entre −z et +z | Aire centrale | À quoi ça sert |
|---|---|---|
| z = 1 | 68,3 % | Environ deux tiers des valeurs |
| z = 1,645 | 90 % | Intervalle de confiance à 90 % |
| z = 1,96 | 95 % | Intervalle de confiance à 95 %, le plus courant |
| z = 2,576 | 99 % | Intervalle de confiance à 99 % |
| z = 3 | 99,7 % | Presque tout |
Règle 68-95-99,7 : dans une loi normale, environ 68 % des valeurs sont à moins de 1 écart-type de la moyenne, 95 % à moins de 2, et 99,7 % à moins de 3.
Version précise pour 95 % : 1,96 écart-type. C'est le nombre le plus utilisé de tout le chapitre.
Appliquons au mariage, avec des tables de 25 invités. Grâce au TCL, les moyennes des tables suivent une loi normale centrée sur 40, d'erreur standard 2 ans. Donc 95 % des tables ont une moyenne comprise entre 40 − 1,96 × 2 = 36,08 et 40 + 1,96 × 2 = 43,92 ans.
Lis cette phrase à l'envers : dans 95 % des cas, la moyenne d'une table tombe à moins de 3,92 ans de µ. Donc, dans 95 % des cas, µ est à moins de 3,92 ans de la moyenne de la table. Retiens cette idée : retournée, elle donne l'intervalle de confiance de la leçon suivante.
7Standardiser : le score z
Chaque variable a ses unités : des années, des euros, des points de GPA. Pour comparer, on compte en nombre d'écarts-types : c'est le score z (on dit « standardiser » ou « centrer-réduire »).
Pour un individu : \( z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} \)
Pour une moyenne d'échantillon : \( z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \) (on divise par l'erreur standard !)
z = 0 : pile dans la moyenne ; z = +2 : deux écarts-types au-dessus ; z = −1 : un écart-type en dessous.
Un invité de 60 ans : \( z = (60 - 40)/10 = +2 \). Il est à 2 écarts-types au-dessus de la moyenne : seuls 2,3 % des invités sont plus âgés (si les âges suivent une loi normale).
Une table de 25 invités de moyenne 44 ans : \( z = (44 - 40)/2 = +2 \). Même score : cette table est aussi inhabituelle que l'invité de 60 ans.
Une table de 25 invités de moyenne 34 ans : \( z = (34 - 40)/2 = -3 \). Au-delà de 3 écarts-types : moins de 0,3 % des tables tombent aussi loin. Soit on a joué de malchance, soit… µ n'est pas 40. C'est exactement le raisonnement d'un test (chapitre 3).
Le score z, c'est une note de surprise. Autour de 0 : rien d'étonnant. Au-delà de ±2 : surprenant (moins de 5 % des cas). Au-delà de ±3 : très surprenant.
Remarque au passage : un invité de 44 ans est banal (z = 0,4), mais une table entière de moyenne 44 ans est surprenante (z = 2). Les moyennes varient beaucoup moins que les individus.
Pourquoi standardiser ? Le cours le dit : on ne sait pas lire directement une loi normale de moyenne 40 et d'écart-type 2, mais on connaît par cœur la loi normale standard Z (moyenne 0, écart-type 1). Standardiser ramène n'importe quelle loi normale à celle-là, et donc au même 1,96 pour 95 %. Au chapitre 3, la statistique t que SPSS calcule est exactement un z de ce type, avec s à la place de σ.
8Dans SPSS : l'erreur standard est partout
SPSS ne dessine jamais la distribution d'échantillonnage, mais il affiche son écart-type dans presque tous les tableaux : Std. Error (Explore), Std. Error Mean (tests t), S.E. mean (option de Descriptives). Exemple sur le GPA de StudentSurvey :
→ Dependent List : GPA → OK.
Descriptives (extrait)
| Statistic | Std. Error | ||
|---|---|---|---|
| GPA | Mean | 3.11 | .038 2 |
| Std. Deviation | .402 1 | ||
N = 111 (tableau Case Processing Summary).
- 1Std. Deviation = s = 0,402 : la dispersion des étudiants. Un étudiant s'écarte typiquement de 0,4 point du GPA moyen.
- 2Std. Error = s/√n = 0,038 : la dispersion de la moyenne. Si on refaisait l'enquête avec 111 autres étudiants, le GPA moyen bougerait typiquement de 0,04 point.
On retrouve l'erreur standard de SPSS : \( \dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{0{,}402}{\sqrt{111}} = \dfrac{0{,}402}{10{,}536} \approx 0{,}038 \). ✓
Et grâce au TCL (n = 111 > 50), la moyenne d'un autre échantillon tomberait dans 95 % des cas à moins d'environ 1,96 × 0,038 ≈ 0,075 point de la vraie moyenne. Ce « ± 0,075 », c'est la marge d'erreur de l'intervalle de confiance de la leçon suivante.
9Rédiger comme à l'examen
Le TCL et l'erreur standard ne font pas l'objet de calculs à l'examen, mais tu dois savoir les expliquer et dire ce qu'est un écart-type, une valeur attendue, et pourquoi on utilise la loi normale.
Erreur standard :
The standard error is the standard deviation of the sample mean: it measures how much the sample mean varies from one sample to another. It is equal to σ/√n, estimated by s/√n, so it decreases when the sample size increases.
Théorème central limite :
According to the Central Limit Theorem, when the sample size is large enough (n > 50 in this course, 30 in many books), the sample mean is approximately normally distributed, with mean µ and standard deviation σ/√n, whatever the distribution of the variable.
10Pièges
« L'erreur standard, c'est l'écart-type. »
Non : l'écart-type (0,402 pour le GPA) mesure la dispersion des individus ; l'erreur standard (0,038) mesure la dispersion de la moyenne. Elle est √n fois plus petite.
« Avec un grand échantillon, les données deviennent normales. »
Non : le TCL parle de la distribution de la moyenne, pas des données. Les durées d'appel restent asymétriques avec 979 clients.
« Si je double n, je divise l'erreur standard par 2. »
Non : doubler n divise l'erreur standard par √2 ≈ 1,41 seulement. Pour la diviser par 2, il faut quadrupler n.
« Pour standardiser une moyenne, je divise par σ. »
Non : pour une moyenne d'échantillon, on divise par l'erreur standard σ/√n. Diviser par σ, c'est pour un individu.
11Teste-toi
Au mariage (σ = 10 ans), quelle est l'erreur standard de la moyenne pour des tables de 25 invités ?
- 10 ans C'est σ, la dispersion des invités pris un par un. Celle des moyennes est plus petite.
- 0,4 an Tu as divisé par n (25) au lieu de √n (5).
- 2 ans Oui : σ/√n = 10/√25 = 10/5 = 2 ans.
- 25 ans Non : 25 est la taille de l'échantillon, pas une dispersion.
Une étude sur n = 100 personnes a une erreur standard de 3. Combien de personnes faut-il pour obtenir une erreur standard de 1,5 ?
- 200 Doubler n divise l'erreur standard par √2 ≈ 1,41 seulement : on obtiendrait environ 2,1, pas 1,5.
- 400 Oui : pour diviser l'erreur standard par 2, il faut multiplier n par 4 (à cause de la racine carrée).
- 150 Non : l'erreur standard ne baisse pas proportionnellement à n.
- C'est impossible C'est possible : il suffit d'augmenter n. Ça coûte juste cher.
Que dit le théorème central limite ?
- Quand n est grand, les données deviennent normales C'est le contresens classique : les données gardent leur forme. C'est la moyenne qui devient normale.
- Quand n > 50, la moyenne de l'échantillon est égale à µ Non : elle reste une estimation qui varie d'un échantillon à l'autre, simplement de moins en moins.
- Quand n est grand, la distribution des moyennes d'échantillon est approximativement normale, centrée sur µ, quelle que soit la forme de la variable Oui, c'est l'énoncé. Avec en prime : son écart-type est σ/√n.
Dans une loi normale, quelle proportion des valeurs se trouve à moins de 1,96 écart-type de la moyenne ?
- 68 % 68 %, c'est pour 1 écart-type.
- 95 % Oui : c'est pour ça que 1,96 sert à construire les intervalles de confiance à 95 %.
- 99 % Pour 99 %, il faut aller jusqu'à 2,576 écarts-types.
Au mariage (µ = 40, σ = 10), une table de 25 invités a une moyenne de 46 ans. Quel est son score z ?
- +0,6 Tu as divisé par σ = 10. Pour une moyenne, on divise par l'erreur standard σ/√n = 2.
- +3 Oui : (46 − 40)/2 = 3. Très surprenant : moins de 0,3 % des tables tombent aussi loin de 40.
- +6 6 est l'écart en années. Il faut encore le diviser par l'erreur standard (2 ans).
En résumé
- La distribution d'échantillonnage est la distribution de toutes les moyennes d'échantillon possibles.
- Son centre est µ (x̄ est sans biais) ; sa dispersion est l'erreur standard σ/√n (estimée par s/√n, le Std. Error de SPSS).
- Multiplier n par 4 divise l'erreur standard par 2. Écart-type = dispersion des individus ; erreur standard = dispersion des moyennes.
- TCL : pour n assez grand (n > 50 dans le cours), la moyenne suit approximativement une loi normale, quelle que soit la forme des données.
- Loi normale : 68-95-99,7 ; 1,96 écart-type pour 95 %. Le score z compte les écarts-types.
Pour t'entraîner : exercices du chapitre 2.
Tu as tout compris ?
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