Comparer deux moyennes : groupes indépendants ou appariés

« Les clients abonnés gagnent-ils plus que les autres ? », « La nouvelle recette plaît-elle davantage ? » : en entreprise, la question la plus fréquente est « A et B sont-ils différents ? ». Pour y répondre, SPSS propose deux menus différents selon la forme de tes données. Choisir le mauvais, c'est risquer la mauvaise conclusion. Cette leçon t'apprend à choisir, puis à lire les tableaux ligne par ligne.

1Ce que tu sais déjà

Dans la leçon sur le test t à un échantillon, tu as comparé une moyenne à une valeur cible (le GPA moyen vaut-il 3 ?). La logique était : on mesure l'écart entre ce qu'on observe et ce que dit H0, on le divise par son « bruit » (l'erreur standard), et SPSS transforme le tout en p-value.

Ici, c'est la même logique avec deux moyennes. La seule nouveauté vient de la 3ᵉ des quatre questions pour choisir un test : les deux groupes sont-ils indépendants ou appariés ?

2Indépendants ou appariés : la question qui décide de tout

Deux groupes sont indépendants quand ce sont des individus différents, sans lien entre eux : les filles et les garçons d'une promo, les clients de Lille et ceux de Paris, les abonnés et les non-abonnés à Netflix.

Deux groupes sont appariés (paired) quand chaque valeur du premier groupe a sa « jumelle » dans le second : les mêmes personnes mesurées deux fois (avant / après un régime, une formation, une nouvelle recette), ou des paires naturelles (des jumeaux, des couples mariés, le prix du même ordinateur en France et en Belgique).

Le professeur insiste sur un avantage : les données appariées donnent des résultats beaucoup plus précis, car on compare deux fois le même objet. Les différences entre individus (certains sont grands, d'autres petits, certains bons élèves, d'autres non) disparaissent quand on fait la soustraction.

3Groupes indépendants : l'idée avec Netflix

Exemple du cours (fichier customer_dbase.sav, 5 000 clients) : le revenu moyen des clients non abonnés à Netflix est de 55,3 k$, celui des abonnés de 52,1 k$. Un écart de 3,2 k$. Peut-on dire que, dans la population, les revenus sont différents ?

Le piège serait de répondre « oui, 55 n'est pas 52 ». Souviens-toi du mariage (leçon sur l'échantillonnage) : deux tables tirées dans la même population n'ont jamais exactement la même moyenne. La vraie question est donc :

C'est exactement ce que mesure la statistique t :

Pour Netflix, SPSS trouve t = 1,097 avec 4 998 degrés de liberté (n − 2) et une p-value de 0,272, plus grande que 0,05. Conclusion du prof : on ne rejette pas H0. L'intervalle de confiance de la différence va de −2,49 k$ à 8,82 k$ : il contient 0, donc « peut-être que la différence vaut 0 ». Choquant ? Non : l'écart existe dans l'échantillon, mais il n'est pas assez grand pour être sûr qu'il existe dans la population. Sans ce test, on aurait conclu l'inverse… et l'entreprise se serait trompée.

4Le test de Levene : lire le tableau en deux temps

Quand tu lances le test, SPSS fait en réalité trois tests d'un coup :

1. Le test de LeveneIl vérifie si la dispersion (la variance) est la même dans les deux groupes. Son H0 : les variances sont égales.
2. Un test t qui suppose les variances égalesLigne « Equal variances assumed » (le test t de Student classique).
3. Un test t qui ne le suppose pasLigne « Equal variances not assumed » (le test de Welch).

Pourquoi ? Parce que le calcul de l'erreur standard n'est pas le même selon que les deux groupes sont aussi dispersés l'un que l'autre ou non. Levene sert donc uniquement à choisir la ligne. Il ne répond pas à ta question sur les moyennes.

5Dans SPSS : le menu et « Define Groups »

Define Groups, c'est là que beaucoup bloquent. SPSS te demande quelles valeurs de la variable de groupe forment le groupe 1 et le groupe 2 :

• si la variable est codée en chiffres (dans le fichier du prof, « Yes » = 1 et « No » = 2, parfois 0/1), tape ces chiffres : Group 1 = 1, Group 2 = 2 ;
• si la variable contient du texte, tape le texte exact, majuscules comprises : Group 1 = Female, Group 2 = Male.

L'ordre compte : SPSS calcule toujours Mean Difference = moyenne du groupe 1 − moyenne du groupe 2. Si tu inverses les groupes, le signe de t, de la différence et des bornes de l'intervalle s'inverse (la p-value, elle, ne change pas). Selon la version de SPSS, le test de Levene peut aussi apparaître dans un tableau séparé (« Homogeneity of variances », SPSS 31) : coche l'option si elle est proposée.

6Exemple 1 : le GPA selon le genre (Levene non significatif)

Fichier StudentSurvey (111 étudiants). Question : la moyenne générale (GPA) est-elle la même chez les filles et chez les garçons ? H0 : \(\mu_F = \mu_M\) ; H1 : \(\mu_F \neq \mu_M\). Deux groupes de personnes différentes : groupes indépendants. Chaque groupe compte plus de 50 étudiants (55 et 56) : la condition de taille est remplie.

• 1Les moyennes des deux échantillons : 3,114 pour les filles, 3,104 pour les garçons. Un écart de 0,010 point seulement.
• 2Levene : Sig. = 0,756 > 0,05. On ne rejette pas l'égalité des variances → on lit la ligne du haut (Equal variances assumed). La ligne du bas est grisée : on l'ignore.
• 3La p-value du test : Two-Sided p = 0,899, très au-dessus de 0,05. On ne rejette pas H0.
• 4L'intervalle de confiance de la différence, [−0,142 ; 0,162], contient 0 : une différence nulle est tout à fait plausible. C'est cohérent avec la p-value.

7Exemple 2 : durée d'appel et dépôt à terme (on passe à Welch)

Fichier BankMarketing (979 clients appelés par une banque). Question : la durée du dernier appel est-elle la même chez les clients qui ont souscrit un dépôt à terme et chez les autres ? Define Groups : Group 1 = yes, Group 2 = no.

• 1Les écarts-types sont très différents : 397 s chez les « yes », 197 s chez les « no ». On s'attend à ce que Levene le repère.
• 2Levene : Sig. < 0,001 ≤ 0,05. On rejette l'égalité des variances → on lit la ligne du bas (Equal variances not assumed). Cette fois, c'est la ligne du haut qu'on ignore.
• 3Un df non entier (40,865) : c'est la signature du test de Welch. Normal, ne t'inquiète pas.
• 4Two-Sided p < 0,001 : on rejette H0. Les durées moyennes sont différentes.
• 5On est confiant à 95 % que les appels des souscripteurs durent en moyenne entre 576 et 827 secondes de plus (entre 9,6 et 13,8 minutes de plus). L'intervalle est loin de 0.

Ici, les deux lignes donnent la même décision (p < 0,001 partout), mais elles n'ont ni le même df ni le même intervalle de confiance : à l'examen, on attend que tu lises la bonne ligne et que tu dises pourquoi. Remarque aussi les tailles : 41 souscripteurs, c'est plus que 30 mais moins que 50. Comme le dit le prof sur un cas semblable, la taille est suffisante, mais « juste à la limite ».

8Exemple 3 : le cas limite (Levene p = 0,057)

Même question pour la richesse familiale estimée (Wealth, en millions de $) selon le genre, dans StudentSurvey :

• 1Levene : 0,057, à peine au-dessus de 0,05. La règle s'applique quand même : 0,057 > 0,05, donc ligne du haut.
• 2Two-Sided p = 0,166 > 0,05 : on ne rejette pas H0. Et la ligne du bas donne 0,165 : quasiment pareil. La différence moyenne est négative (−6,2 M$) car le groupe 1 (Female) est moins riche en moyenne que le groupe 2 (Male) dans l'échantillon, mais ce n'est pas significatif.

9Les conditions du test t pour deux groupes

Si un groupe est petit et que les données ne sont pas normales (on verra comment le vérifier dans la leçon sur la normalité), le test t n'est plus fiable : il faut un test non paramétrique (Mann-Whitney), hors programme de l'examen mais utile pour ton projet.

10Groupes appariés : l'idée avec le kebab

Exemple du cours : tu es le nouveau responsable marketing d'une chaîne de kebabs. Tu changes la recette et tu demandes à des clients de goûter l'ancienne et la nouvelle, et de noter chacune sur 100. Les notes ont-elles changé ?

Regarde bien : les notes d'Adam (14) et de Clara (45) n'ont rien à voir, mais ça n'a aucune importance. Ce qui compte, c'est que chacun a un peu augmenté sa note. En faisant la soustraction ligne par ligne, on élimine les différences de goût entre les clients.

Résultat dans le cours : moyenne avant 47, après 49, différence moyenne −1,87, intervalle de confiance [−3,09 ; −0,65], p-value 0,003. Comme p < 0,05, on rejette H0 : les préférences ont changé. Et comme tout l'intervalle est négatif (avant − après < 0), elles ont augmenté.

11Exemple complet : le tutorat (données inventées)

Pour voir une sortie SPSS complète, prenons un exemple fictif, inventé pour cette leçon : 24 étudiants notent leur confiance en statistiques (sur 100) avant et après quatre séances de tutorat. Ce sont les mêmes étudiants deux fois : données appariées. H0 : \(\mu_{before} = \mu_{after}\) ; H1 : \(\mu_{before} \neq \mu_{after}\).

Condition : 24 paires, c'est moins de 30. Il faut donc que les différences soient à peu près normales. Le test de Shapiro-Wilk sur ces 24 différences donne p = 0,221 > 0,05 : on ne rejette pas la normalité (voir la leçon sur la normalité). On peut utiliser le test t apparié.

• 1Les moyennes : 50,71 avant, 59,46 après. Dans l'échantillon, la confiance a progressé.
• 2La corrélation avant/après (0,736) dit seulement que les étudiants confiants avant le restent souvent après. Ce n'est pas le test : ne lis pas sa p-value pour répondre à la question.
• 3Mean = −8,750 = Before − After. Négatif, donc le score « après » est plus grand : il y a eu une hausse de 8,75 points en moyenne.
• 4Intervalle de confiance [−12,529 ; −4,971] : entièrement négatif, il ne contient pas 0. On est confiant à 95 % que la hausse moyenne est comprise entre 5 et 12,5 points environ.
• 5Two-Sided p < 0,001 < 0,05 : on rejette H0. (Vérification : t = −8,750 / 1,827 = −4,789, et df = 24 − 1 = 23.)

12Rédiger comme à l'examen : les 8 étapes

À l'examen, on attend le raisonnement complet. Voici le modèle pour l'exemple du GPA :

1. HypothèsesH0 : \(\mu_F = \mu_M\) ; H1 : \(\mu_F \neq \mu_M\) (bilatéral).
2. Sur quoi on travailleDeux groupes indépendants (filles / garçons), une moyenne (GPA).
3. Le testIndependent-samples t-test (Student ou Welch selon Levene).
4. Les conditions55 et 56 étudiants > 50 ; Levene p = 0,756 → variances égales, ligne du haut.
5. Le seuilα = 5 %.
6. La p-valueTwo-Sided p = 0,899.
7. La décision0,899 > 0,05 → fail to reject H0.
8. La conclusion en contexte« There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the mean GPA differs between female and male students. »

13Les pièges

14Teste-toi