Résumer une variable : centre et dispersion
SPSS annonce une dépense moyenne de 917,52 dollars, une médiane de 860 et un écart-type de 230,67. Pourquoi deux « centres » différents, lequel donner, et que veut dire ce 230,67 ?
- Calculer et interpréter la moyenne, la médiane et le mode, et choisir le bon selon les données
- Expliquer avec tes mots ce que mesure l'écart-type (et pourquoi on divise par n − 1)
- Donner les quartiles, le résumé en 5 nombres et l'écart interquartile
- Obtenir ces nombres dans SPSS (Frequencies, Descriptives, Explore) et les commenter
Personne ne lit un fichier de 111 lignes en entier. On le résume en quelques nombres qui répondent à deux questions : où se trouve le centre des données, et à quel point elles s'étalent autour. Bien choisis, deux nombres en disent plus qu'une colonne entière. Mal choisis, ils mentent.
1Ce que tu sais déjà
Dans la leçon 1, on a vu qu'une variable quantitative est une variable dont la moyenne a un sens (âge, dépenses, nombre de SMS…). C'est elle qu'on résume ici. Pour une variable qualitative, on se contente de compter (effectifs, pourcentages) : ce sera la leçon 3.
La moyenne, tu sais la calculer depuis le collège. Ce qui est nouveau : savoir quand elle trompe, la compléter par une mesure de dispersion, et retrouver tout ça dans les tableaux de SPSS.
2L'idée : deux groupes, même moyenne
Deux groupes de 7 amis notent combien d'heures par semaine ils passent sur les réseaux sociaux. Dans les deux groupes, la moyenne est exactement de 12 heures. Pourtant, regarde :
Pour résumer une variable quantitative, il faut toujours deux informations :
1. Le centre (tendance centrale) : une valeur « typique ». Moyenne, médiane, mode.
2. La dispersion : à quel point les valeurs s'écartent de ce centre. Étendue, écart-type, écart interquartile.
Dans la suite, on travaille sur le groupe B : 8, 10, 10, 12, 13, 14, 17 heures (7 personnes, donc n = 7).
3Le centre : moyenne, médiane, mode
La moyenne
On additionne tout et on divise par le nombre de valeurs. C'est la valeur qu'aurait chacun si on « partageait équitablement » le total.
\(\bar{x}\) (« x barre ») : la moyenne de l'échantillon (pour la population, on écrit µ)
\(x_i\) : chacune des valeurs ; \(\sum\) (« sigma ») : « la somme de »
\(n\) : le nombre de valeurs
La médiane
On range les valeurs dans l'ordre et on prend celle du milieu : la moitié des valeurs est en dessous, l'autre moitié au-dessus. Avec n valeurs, elle est à la position \((n+1)/2\). Si n est pair, on fait la moyenne des deux valeurs du milieu.
Le mode
La valeur la plus fréquente. Peu utile pour une variable continue (deux GPA identiques au centième près, c'est du hasard), mais c'est le seul « centre » possible pour une variable nominale : le mode de Computer est Laptop (80 étudiants sur 111).
- Moyenne8 + 10 + 10 + 12 + 13 + 14 + 17 = 84, puis 84 ÷ 7 = 12 h.
- MédianeLes valeurs sont déjà rangées. Position (7 + 1) ÷ 2 = 4 : la 4ᵉ valeur est 12 h.
- Mode10 apparaît deux fois, les autres une seule : mode = 10 h.
- Et si n était pair ?Avec une 8ᵉ personne à 20 h : 8, 10, 10, 12, 13, 14, 17, 20. Les deux du milieu sont 12 et 13, la médiane vaut (12 + 13) ÷ 2 = 12,5 h.
Le grand test : une valeur qui s'envole
Remplaçons la dernière personne (17 h) par Inès, influenceuse, qui passe 45 heures par semaine sur les réseaux. Que deviennent la moyenne et la médiane ? Fais-le toi-même :
La moyenne est sensible aux valeurs aberrantes (sensitive to outliers) : une seule valeur extrême la tire vers elle.
La médiane est résistante (resistant to outliers) : c'est elle qu'il faut préférer quand il y a des valeurs extrêmes ou une distribution très asymétrique.
Le cours définit les valeurs aberrantes (outliers) comme des valeurs inattendues, fausses ou extrêmes. Une erreur de saisie (220 ans au lieu de 22) ou une valeur vraie mais rare (une famille milliardaire) : dans les deux cas, la moyenne en souffre.
Sur nos vraies données, l'effet est spectaculaire :
| Variable (StudentSurvey) | Moyenne | Médiane | Ce qu'on en déduit |
|---|---|---|---|
| Age (ans) | 21,97 | 22 | quasi égales : distribution à peu près symétrique, la moyenne convient |
| Spending (dollars par semestre) | 917,52 | 860 | quelques gros dépensiers tirent la moyenne vers le haut |
| Text Messages (SMS par jour) | 224,44 | 150 | la moitié des étudiants envoient 150 SMS ou moins |
| Wealth (fortune familiale, millions de dollars) | 10,91 | 2 | 5 familles déclarées à 100 M$ : la moyenne ne décrit personne |
Dix personnes sont dans un bar, leur revenu moyen est de 3 000 € par mois. Un milliardaire entre : le revenu moyen du bar explose, mais personne n'est devenu plus riche. Le revenu médian, lui, bouge à peine. C'est pour ça que les salaires, les fortunes, les prix de l'immobilier ou les durées d'appel se résument plutôt par la médiane.
Règle pratique : si la moyenne est nettement plus grande que la médiane, quelques très grandes valeurs tirent la moyenne vers la droite. On dit que la distribution est asymétrique à droite. On verra ces formes en image dans la leçon 3.
4La dispersion : à quel point les valeurs s'étalent
L'étendue
Le plus simple : étendue = maximum − minimum (en anglais range). Pour le groupe B : 17 − 8 = 9 h. Problème : elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes. Avec Inès à 45 h, elle passe à 37 h.
L'écart-type, la vraie mesure de dispersion
L'idée : regarder de combien chaque valeur s'écarte de la moyenne, puis faire une sorte de moyenne de ces écarts.
- Les écarts à la moyenne−4, −2, −2, 0, +1, +2, +5. Leur somme fait 0 : impossible d'en faire la moyenne telle quelle.
- On les met au carré16, 4, 4, 0, 1, 4, 25 (tout devient positif, et les grands écarts pèsent plus).
- On additionne16 + 4 + 4 + 0 + 1 + 4 + 25 = 54.
- On divise par n − 154 ÷ (7 − 1) = 9. C'est la variance : 9 « heures au carré », une unité qui ne parle à personne.
- On prend la racine carrée\(\sqrt{9}\) = 3. C'est l'écart-type : 3 heures, dans l'unité de départ.
\(x_i - \bar{x}\) : l'écart d'une valeur à la moyenne
\(s^2\) : la variance de l'échantillon ; \(s\) : l'écart-type de l'échantillon (pour la population, on note \(\sigma^2\) et \(\sigma\), et on divise par N)
\(n - 1\) : la taille de l'échantillon moins un (voir juste après)
L'écart-type, c'est à peu près la distance typique entre une valeur et la moyenne. Ici : « en général, les gens du groupe B s'écartent d'environ 3 heures des 12 heures moyennes ». Plus il est grand, plus les données sont étalées. S'il vaut 0, toutes les valeurs sont identiques.
Pourquoi diviser par n − 1 et pas par n ?
Le cours l'explique ainsi : on aimerait mesurer les écarts à la vraie moyenne de la population µ, mais on ne la connaît pas. On utilise donc \(\bar{x}\), la moyenne de l'échantillon. Or \(\bar{x}\) est, par construction, pile au centre de notre échantillon : les écarts à \(\bar{x}\) sont donc un peu plus petits que les écarts à µ. Résultat, l'écart-type serait légèrement sous-estimé.
Pour compenser, on divise par un nombre un peu plus petit (n − 1 au lieu de n), ce qui donne un résultat un peu plus grand. On obtient un unbiased estimator : un outil qui ne se trompe pas systématiquement dans le même sens. SPSS divise toujours par n − 1. Avec n = 111, la différence est minime ; avec n = 7, elle se voit (3 contre 2,78).
L'écart-type est lui aussi sensible aux valeurs aberrantes : avec Inès à 45 h, il passe de 3 h à 12,95 h (regarde le compteur de la visualisation plus haut). Un écart-type énorme par rapport à la moyenne est souvent le signe de quelques valeurs extrêmes.
5Les positions : quartiles et résumé en 5 nombres
Les quartiles coupent les données rangées en quatre paquets de même taille :
- Q1 (1er quartile, ou 25e percentile) : 25 % des valeurs sont en dessous ;
- Q2 = la médiane (50 %) ;
- Q3 (3e quartile, ou 75e percentile) : 75 % des valeurs sont en dessous.
Un percentile généralise l'idée : le 90e percentile est la valeur sous laquelle se trouvent 90 % des données. Exemple du cours : « 25 % des clients ont 32 ans ou moins, 75 % ont 62 ans ou moins » (Q1 = 32, Q3 = 62).
Le résumé en 5 nombres (five-number summary) donne une image complète : minimum, Q1, médiane, Q3, maximum. Et l'écart interquartile (IQR) = Q3 − Q1 mesure la largeur de la « moitié centrale » des données.
Et si la position tombe entre deux valeurs ?
SPSS calcule la position \((n+1) \times p\). Si elle n'est pas entière, il prend la valeur « entre les deux », au prorata. Avec 6 valeurs 4, 6, 7, 8, 10, 13, la position de Q1 est 7 × 0,25 = 1,75 : on part de la 1re valeur (4) et on avance des trois quarts de l'écart jusqu'à la 2e (6), soit 4 + 0,75 × 2 = 5,5. Tu n'auras pas à le faire à la main à l'examen : SPSS s'en charge. D'autres logiciels (Excel) utilisent une règle un peu différente, ne t'étonne pas de petits écarts.
Avec Inès à 45 h, Q1 et Q3 ne bougent pas : l'écart interquartile reste à 4 h. Voici le bilan, à connaître par cœur :
| Mesure | Elle mesure… | Sensible aux valeurs aberrantes ? |
|---|---|---|
| Moyenne | le centre | oui |
| Médiane | le centre | non (résistante) |
| Étendue | la dispersion | oui, énormément |
| Écart-type, variance | la dispersion | oui |
| Écart interquartile (IQR) | la dispersion | non (résistant) |
Les mesures vont par paires : moyenne + écart-type pour des données à peu près symétriques sans valeurs extrêmes ; médiane + écart interquartile dès qu'il y a des valeurs aberrantes ou une forte asymétrie.
6Dans SPSS : Frequencies, Descriptives, Explore
Le professeur prévient : « SPSS is kind of a mess ». Trois menus donnent les mêmes résumés, chacun avec ses bonus :
Frequencies
Le plus complet pour les résumés : moyenne, médiane, mode, écart-type, quartiles et percentiles au choix. Le plus utilisé.
Descriptives
Le plus rapide : N, minimum, maximum, moyenne, écart-type. Pas de médiane !
Explore
Tout en un : résumés + intervalle de confiance + boîte à moustaches. On l'utilisera dans la leçon 3.
→ Variable(s) : Age, Spending, Text Messages → décoche « Display frequency tables » → bouton Statistics… : coche Quartiles, Mean, Median, Mode, Std. deviation, Variance, Range, Minimum, Maximum → Continue → OK.
Statistics
| Age | Spending | Text Messages | ||
|---|---|---|---|---|
| N | Valid | 111 | 111 | 111 |
| Missing 1 | 0 | 0 | 0 | |
| Mean | 21.97 | 917.52 2 | 224.44 | |
| Median | 22.00 | 860.00 | 150.00 | |
| Mode | 21 | 800 | 100 | |
| Std. Deviation | 2.402 | 230.672 3 | 205.209 | |
| Variance | 5.772 | 53209.488 | 42110.867 | |
| Range | 12 | 1430 | 800 | |
| Minimum | 18 | 570 | 0 | |
| Maximum | 30 | 2000 | 800 | |
| Percentiles | 25 | 20.00 | 800.00 4 | 60.00 |
| 50 | 22.00 | 860.00 | 150.00 | |
| 75 | 23.00 | 1000.00 | 350.00 | |
- 1Toujours commencer par là : 111 réponses valides, 0 manquante. Si des valeurs manquaient, tous les calculs porteraient sur moins de 111 étudiants.
- 2Pour Spending, la moyenne (917,52) dépasse la médiane (860) : quelques étudiants dépensent beaucoup (jusqu'à 2 000 dollars) et tirent la moyenne vers le haut. Même chose, en plus fort, pour Text Messages (224 contre 150). Pour Age, moyenne et médiane sont presque égales.
- 3L'écart-type : un étudiant s'écarte typiquement d'environ 231 dollars de la dépense moyenne. La variance juste en dessous (53 209) est en « dollars au carré » : on ne la commente pas.
- 4Q1 = 800 et Q3 = 1 000 : la moitié centrale des étudiants dépense entre 800 et 1 000 dollars par semestre. Écart interquartile = 1 000 − 800 = 200 dollars. Résumé en 5 nombres : 570 ; 800 ; 860 ; 1 000 ; 2 000.
Le même travail avec donne un tableau plus court (sans médiane ni quartiles) :
Descriptive Statistics
| N | Minimum | Maximum | Mean | Std. Deviation | |
|---|---|---|---|---|---|
| Age | 111 | 18 | 30 | 21.97 | 2.402 |
| Spending | 111 | 570 | 2000 | 917.52 | 230.672 |
| Text Messages | 111 | 0 | 800 | 224.44 | 205.209 |
| Valid N (listwise) 1 | 111 |
- 1Valid N (listwise) : le nombre d'étudiants qui ont répondu à toutes les variables du tableau. Ici, personne n'a de valeur manquante.
Enfin, (variable dans la Dependent List) donne tout cela dans un seul tableau, plus l'écart interquartile, une « moyenne tronquée à 5 % » (la moyenne après avoir retiré les 5 % de valeurs les plus basses et les 5 % les plus hautes, un compromis entre moyenne et médiane) et un indicateur d'asymétrie (Skewness : positif quand la queue est à droite ; il vaut 1,818 pour Spending). Explore sert surtout à tracer les graphiques de la leçon suivante.
- « Display frequency tables » coché sur une variable quantitative : SPSS affiche une ligne par valeur différente (des dizaines de lignes pour Spending). Pour une variable quantitative, décoche-la.
- Plusieurs modes : si deux valeurs sont aussi fréquentes l'une que l'autre, SPSS n'en montre qu'une, avec la note « a. Multiple modes exist. The smallest value is shown ». C'est le cas de la durée des appels dans BankMarketing (128 et 160 secondes, 8 fois chacune).
7Rédiger comme à l'examen
La liste officielle des attendus contient « définir l'écart-type ». Une définition qui rapporte tous les points :
The standard deviation measures the spread of the data around the mean: roughly, it is the typical distance between an observation and the mean. It is expressed in the same unit as the variable; the larger it is, the more dispersed the data.
Et pour commenter un résumé (ici Spending) :
The mean spending (917.52 dollars) is higher than the median (860 dollars) because a few students spend much more than the others (up to 2,000 dollars). The distribution is right-skewed, so the median is a better measure of the typical spending. Half of the students spend between 800 and 1,000 dollars per semester (Q1 and Q3).
8Les pièges à éviter
« La moyenne est toujours le meilleur résumé. »
Non. Dès qu'il y a des valeurs extrêmes (Wealth : moyenne 10,91 M$, médiane 2 M$), la moyenne ne décrit plus un individu typique. Compare toujours moyenne et médiane avant de choisir.
« L'écart-type, c'est l'écart entre le minimum et le maximum. »
Non, ça c'est l'étendue (range). L'écart-type mesure l'écart typique à la moyenne, en tenant compte de toutes les valeurs.
« La médiane, c'est la valeur au milieu de la liste. »
Seulement si la liste est rangée dans l'ordre ! Dans 17, 8, 13, 10, 14, 10, 12, la valeur du milieu est 10, mais la médiane est 12.
« Variance et écart-type, c'est pareil. »
L'écart-type est la racine carrée de la variance. La variance est dans une unité au carré (dollars², heures²) : pour décrire des données, on commente l'écart-type.
9Teste-toi
Cinq amis envoient 20, 30, 30, 40 et 400 SMS par jour. Quel nombre décrit le mieux un ami « typique » ?
- La moyenne, 104 SMS Elle est gonflée par l'ami à 400 SMS : quatre amis sur cinq en envoient 40 ou moins.
- La médiane, 30 SMS Oui : la valeur extrême (400) ne la fait pas bouger. Elle décrit bien l'ami typique.
- L'étendue, 380 SMS L'étendue mesure la dispersion, pas le centre.
La plus grande valeur d'une série est multipliée par 10 (erreur de saisie). Lequel de ces nombres ne change pas ?
- La moyenne Elle augmente : la somme des valeurs augmente.
- L'écart-type Il augmente beaucoup : une valeur très éloignée de la moyenne a un écart au carré énorme.
- La médiane Oui : la plus grande valeur reste la plus grande, l'ordre ne change pas, la valeur du milieu non plus.
- L'étendue Elle explose : elle dépend directement du maximum.
Un écart-type égal à 0 signifie que…
- la moyenne vaut 0 Non : des valeurs toutes égales à 15 ont une moyenne de 15 et un écart-type nul.
- toutes les valeurs sont identiques Oui : aucun écart à la moyenne, donc aucune dispersion.
- il n'y a pas de valeur aberrante C'est vrai, mais beaucoup trop faible : il n'y a même aucune variation.
Pour Text Messages, SPSS donne Mean = 224.44 et Median = 150.00. Qu'en conclus-tu ?
- SPSS s'est trompé : moyenne et médiane devraient être égales Elles ne sont égales que pour des données symétriques. Ce n'est pas obligatoire du tout.
- Quelques étudiants envoient énormément de SMS et tirent la moyenne vers le haut Oui : distribution asymétrique à droite. La moitié des étudiants envoient 150 SMS par jour ou moins.
- La plupart des étudiants envoient environ 224 SMS par jour Non : plus de la moitié en envoient moins de 224, puisque la médiane est à 150.
Pour Spending, Q1 = 800 et Q3 = 1 000. Quelle phrase est juste ?
- 25 % des étudiants dépensent exactement 800 dollars Q1 n'est pas une fréquence : c'est la valeur sous laquelle se trouvent 25 % des étudiants.
- La dépense moyenne est (800 + 1 000) ÷ 2 = 900 dollars Non, la moyenne se calcule sur toutes les valeurs : elle vaut 917,52.
- La moitié centrale des étudiants dépense entre 800 et 1 000 dollars Oui : 25 % sont sous Q1, 25 % au-dessus de Q3, il reste les 50 % du milieu. L'écart interquartile vaut 200.
En résumé
- Résumer = donner un centre (moyenne, médiane, mode) et une dispersion (étendue, écart-type, IQR).
- La moyenne et l'écart-type sont sensibles aux valeurs aberrantes ; la médiane et l'IQR sont résistants.
- Moyenne nettement plus grande que la médiane → quelques grandes valeurs, distribution asymétrique à droite → on préfère la médiane.
- L'écart-type ≈ la distance typique à la moyenne, dans l'unité de la variable ; on divise par n − 1 pour ne pas le sous-estimer.
- Résumé en 5 nombres : min, Q1, médiane, Q3, max. IQR = Q3 − Q1 = la largeur de la moitié centrale.
- Dans SPSS : Frequencies (le plus complet), Descriptives (le plus rapide), Explore (tout + graphiques).
Pour t'entraîner : exercices du chapitre 1. Leçon suivante : voir les données en image.
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