Deux variables qualitatives : le khi-deux et le test de Fisher
Le genre et le type d'ordinateur sont-ils liés ? Comment SPSS le teste, et que faire quand il y a trop peu d'observations dans le tableau ?
- Expliquer la logique « observé contre attendu » du test du khi-deux
- Calculer un effectif attendu et vérifier la règle des 5 du cours
- Choisir entre le khi-deux de Pearson et le test exact de Fisher dans le tableau SPSS
- Comprendre pourquoi comparer des proportions, c'est le même test
- Décrire le sens du lien avec les pourcentages en ligne
Le genre influence-t-il l'abonnement à Netflix ? La situation familiale joue-t-elle sur la souscription d'un produit bancaire ? Dès que tes deux variables sont qualitatives, l'outil est le test du khi-deux (χ², chi-square). Le prof le dit lui-même : c'est sans doute l'un des deux tests les plus utilisés au monde. Bonne nouvelle : sa logique tient en une phrase, et SPSS fait tous les calculs.
1Ce que tu sais déjà
Dans la leçon sur les tableaux croisés, tu as appris à croiser deux variables qualitatives dans un tableau de contingence et à lire les pourcentages en ligne. Tu savais décrire un lien dans l'échantillon. Il te manquait la question du chapitre 3 : ce lien existe-t-il aussi dans la population, ou est-ce un hasard d'échantillon ?
Côté « quatre questions » : on a un seul échantillon (une ligne par personne) et deux variables qualitatives à comparer. Le test qui répond s'appelle le khi-deux d'indépendance.
2L'idée : comparer la réalité à un monde « sans lien »
Exemple du cours, avec des chiffres choisis pour être simples : 50 clients, 10 hommes et 40 femmes, 10 abonnés à Netflix. Trois situations possibles :
Indépendance parfaite
| Netflix | Non | |
|---|---|---|
| Homme | 2 | 8 |
| Femme | 8 | 32 |
20 % des hommes et 20 % des femmes sont abonnés. Connaître le genre n'apprend rien sur l'abonnement.
Les vraies données
| Netflix | Non | |
|---|---|---|
| Homme | 5 | 5 |
| Femme | 5 | 35 |
50 % des hommes, 12,5 % des femmes. Entre les deux extrêmes.
Dépendance parfaite
| Netflix | Non | |
|---|---|---|
| Homme | 10 | 0 |
| Femme | 0 | 40 |
Tous les hommes sont abonnés, aucune femme : le genre prédit parfaitement l'abonnement.
La question du test
S'il n'y avait aucun lien, on devrait voir 2 hommes abonnés. On en voit 5. L'écart entre 2 et 5 est-il assez grand pour conclure à un lien dans la population ?
Le khi-deux mesure à quelle distance la réalité (tableau observé) se trouve d'un monde sans lien (tableau attendu). Plus la distance est grande, plus on croit à un lien.
H0 : dans la population, les deux variables sont indépendantes (aucun lien).
H1 : dans la population, les deux variables sont dépendantes (liées).
Pourquoi l'indépendance dans H0 ? Parce que c'est le statu quo : deux variables prises au hasard ne sont, en général, pas liées. On suppose « pas de lien » tant qu'on n'a pas de preuve.
3Le tableau attendu, case par case
Le tableau attendu, c'est ce qu'on devrait observer si les variables étaient indépendantes, en gardant les mêmes totaux. Le raisonnement pour la case « Homme × Netflix » : 10 clients sur 50 sont abonnés, soit 20 %. Sans lien avec le genre, 20 % des 10 hommes devraient être abonnés, donc 2.
On applique la même formule à chaque case. SPSS le fait pour toi (Expected Count), mais il faut savoir d'où vient le nombre.
Ensuite, le khi-deux additionne les écarts entre observé et attendu, case par case :
\(O\) : effectif observé dans la case ; \(A\) : effectif attendu dans la case
On élève l'écart au carré (pour que les écarts positifs et négatifs ne s'annulent pas) et on le rapporte à l'attendu. Si χ² vaut 0, observé = attendu : indépendance parfaite.
Tu n'as pas à faire ce calcul à l'examen : SPSS transforme χ² en p-value. Retiens seulement le sens : grand χ² = loin de l'indépendance = petite p-value.
4La règle des 5 et le test exact de Fisher
Le khi-deux est une approximation : elle ne marche bien que si le tableau n'est pas construit sur une poignée de personnes. D'où la condition du cours :
Au moins 5 dans chaque case du tableau attendu.
Si une seule case attendue est sous 5, le khi-deux n'est pas fiable : on lit le test exact de Fisher (Fisher's Exact Test).
Certains livres sont plus souples (« aucune case sous 1 et pas plus de 20 % des cases sous 5 »), mais ce semestre, le prof garde la règle stricte.
Le test de Fisher calcule la probabilité exacte de chaque tableau possible avec les mêmes totaux, sans approximation. Il demande beaucoup de calculs, mais comme il est fait pour les petits échantillons, ton ordinateur s'en sort très bien. Pour le petit tableau Netflix ci-dessus, il donne p ≈ 0,018.
Dans l'exemple du cours sur le vrai fichier (5 000 clients, genre × Netflix), aucune case attendue n'est sous 5 : χ² = 1,40 et p = 0,237. Par curiosité, le prof montre aussi Fisher : p = 0,253. Même conclusion (on ne rejette pas H0). Quand la règle des 5 est respectée, les deux tests sont presque toujours d'accord ; c'est quand elle ne l'est pas que Fisher devient indispensable.
5Comparer des proportions : c'est le même test
Une question qui semble différente : « La proportion d'hommes abonnés est-elle égale à la proportion de femmes abonnées ? » Regarde le tableau d'indépendance parfaite : 20 % des hommes et 20 % des femmes sont abonnés. Indépendance = mêmes proportions dans chaque groupe. Les deux questions sont donc identiques.
Formulation « indépendance »
H0 : le genre et l'abonnement sont indépendants.
H1 : ils sont dépendants.
Formulation « proportions »
H0 : la proportion d'abonnés est la même chez les hommes et chez les femmes.
H1 : elle est différente.
Même menu, même tableau, même p-value. Dans le cours : 7,6 % des hommes abonnés (186 sur 2 449) contre 8,5 % des femmes (217 sur 2 551), p = 0,237 : pas assez de preuves d'une différence de proportions. Le gros avantage de ce test : il compare des proportions entre 2, 3 ou 10 groupes d'un coup.
6Dans SPSS : le menu Crosstabs
- Row(s) : la variable qui forme les groupes (ex.
Gender) ; Column(s) : l'autre variable (ex.Computer). - Statistics… : coche Chi-square → Continue.
- Cells… : coche Observed et Expected (Counts), et Row (Percentages) → Continue → OK.
SPSS affiche deux tableaux : le tableau croisé (Crosstabulation), qui réunit l'observé, l'attendu et les pourcentages, puis le tableau des tests (Chi-Square Tests). Pour un tableau 2×2, Fisher est ajouté automatiquement. S'il n'apparaît pas, le prof conseille le bouton Exact… → Exact.
7Exemple 1 : genre et type d'ordinateur (khi-deux lisible)
Fichier StudentSurvey. Question : le type d'ordinateur utilisé (Desktop, Laptop, Tablet) est-il lié au genre ? H0 : Gender et Computer sont indépendants.
Gender * Computer Crosstabulation
| Computer | Total | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Desktop | Laptop | Tablet | ||||
| Gender | Female | Count | 8 | 40 1 | 7 | 55 |
| Expected Count | 9.9 | 39.6 | 5.5 | 55.0 | ||
| % within Gender | 14.5% | 72.7% 2 | 12.7% | 100.0% | ||
| Male | Count | 12 | 40 | 4 | 56 | |
| Expected Count | 10.1 | 40.4 | 5.5 | 56.0 | ||
| % within Gender | 21.4% | 71.4% | 7.1% | 100.0% | ||
| Total | Count | 20 | 80 | 11 | 111 | |
| Expected Count | 20.0 | 80.0 | 11.0 | 111.0 | ||
| % within Gender | 18.0% | 72.1% | 9.9% | 100.0% | ||
Chi-Square Tests
| Value | df | Asymptotic Significance (2-sided) | |
|---|---|---|---|
| Pearson Chi-Square | 1.609a | 2 | .447 4 |
| Likelihood Ratio | 1.625 | 2 | .444 |
| Linear-by-Linear Association | 1.567 | 1 | .211 |
| N of Valid Cases | 111 |
a. 0 cells (0.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 5.45. 3
- 1Observé contre attendu : 40 filles sur ordinateur portable, alors que l'indépendance en prévoyait 39,6. Très proche. Partout, l'observé colle à l'attendu.
- 2Les pourcentages en ligne : 72,7 % des filles et 71,4 % des garçons utilisent un portable. Presque pareil.
- 3La note a. : 0 case attendue sous 5 (la plus petite vaut 5,45). La condition est remplie : on lit le khi-deux de Pearson.
- 4Ligne Pearson Chi-Square, colonne Asymptotic Significance (2-sided) : p = 0,447 > 0,05. On ne rejette pas H0. Les lignes grisées (Likelihood Ratio, Linear-by-Linear Association) ne sont pas au programme : ignore-les.
All expected counts are at least 5 (minimum 5.45), so the chi-square test can be used. The p-value (0.447) is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that gender and the type of computer are dependent.
8Exemple 2 : prêt immobilier et dépôt à terme (une case sous 5 → Fisher)
Fichier BankMarketing. Question : avoir un prêt immobilier (Housing Loan) est-il lié à la souscription d'un dépôt à terme ? H0 : les deux variables sont indépendantes.
Housing Loan * Term Deposit Crosstabulation
| Term Deposit | Total | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| no | yes | ||||
| Housing Loan | no | Count | 101 | 4 | 105 |
| Expected Count | 100.6 | 4.4 1 | 105.0 | ||
| % within Housing Loan | 96.2% | 3.8% | 100.0% | ||
| yes | Count | 837 | 37 | 874 | |
| Expected Count | 837.4 | 36.6 | 874.0 | ||
| % within Housing Loan | 95.8% | 4.2% | 100.0% | ||
| Total | Count | 938 | 41 | 979 | |
| Expected Count | 938.0 | 41.0 | 979.0 | ||
| % within Housing Loan | 95.8% | 4.2% | 100.0% | ||
Chi-Square Tests
| Value | df | Asymptotic Significance (2-sided) | Exact Sig. (2-sided) | Exact Sig. (1-sided) | |
|---|---|---|---|---|---|
| Pearson Chi-Square | .042a | 1 | .838 3 | ||
| Continuity Correctionb | .000 | 1 | 1.000 | ||
| Likelihood Ratio | .043 | 1 | .836 | ||
| Fisher's Exact Test | 1.000 4 | .546 | |||
| Linear-by-Linear Association | .042 | 1 | .838 | ||
| N of Valid Cases | 979 |
a. 1 cells (25.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 4.40. 2
b. Computed only for a 2x2 table
- 1La case « pas de prêt × a souscrit » attend 4,4 clients. C'est sous 5. Attention : l'observé (4) n'a pas d'importance pour la règle, c'est l'attendu qui compte.
- 2La note a. le confirme : 1 case sur 4 (25 %) a un effectif attendu sous 5. La règle du cours n'est pas respectée : on ne lit pas le khi-deux.
- 3Le khi-deux de Pearson (p = 0,838) est donc grisé. Même s'il aboutit ici à la même décision, ce n'est pas la ligne qu'on doit citer.
- 4Fisher's Exact Test, colonne Exact Sig. (2-sided) : p = 1,000 > 0,05. On ne rejette pas H0. (La colonne 1-sided ne sert que pour un H1 unilatéral, et la ligne Continuity Correction n'est pas au programme.)
Ça a du sens : 3,8 % des clients sans prêt immobilier ont souscrit, contre 4,2 % de ceux qui en ont un. Presque identique. Remarque que 979 clients ne suffisent pas à remplir la règle : ce qui compte, c'est le nombre de personnes dans chaque case, et ici il y a très peu de souscripteurs (41).
One expected count is below 5 (4.40), so the chi-square test cannot be used and we read Fisher's exact test. Its p-value (1.000) is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that having a housing loan and subscribing to a term deposit are dependent.
9Exemple 3 : situation familiale et dépôt à terme (p = 0,070)
Toujours dans BankMarketing : la situation familiale (divorced, married, single) est-elle liée à la souscription ? Taux de souscription observés (pourcentages en ligne) : 7,0 % chez les divorcés, 3,1 % chez les mariés, 5,4 % chez les célibataires.
Chi-Square Tests
| Value | df | Asymptotic Significance (2-sided) | |
|---|---|---|---|
| Pearson Chi-Square | 5.329a | 2 | .070 2 |
| Likelihood Ratio | 5.044 | 2 | .080 |
| Linear-by-Linear Association | .016 | 1 | .900 |
| N of Valid Cases | 979 |
a. 0 cells (0.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 5.40. 1
- 1Aucune case attendue sous 5 (minimum 5,40, de justesse) : le khi-deux est lisible.
- 2p = 0,070. C'est plus grand que 0,05 : on ne rejette pas H0 à 5 %. Dans l'échelle du cours, entre 5 % et 10 %, le résultat est « peu significatif » (not very significant). Avec α = 10 %, on aurait rejeté H0.
The p-value (0.070) is larger than 0.05, so we fail to reject H0 at a 5% level of significance: there is not enough statistical evidence to say that marital status and subscription are dependent. The result is only "not very significant" (between 5% and 10%).
Tentation à éviter : écrire « les divorcés souscrivent plus » parce que 7,0 % > 3,1 %. Ces écarts existent dans l'échantillon, mais le test dit qu'ils ne sont pas assez nets pour être généralisés à 5 %.
10Exemple 4 : trop de petites cases (Class × Computer)
StudentSurvey : le type d'ordinateur dépend-il de l'année d'études (Freshman, Sophomore, Junior, Senior) ? Le tableau a 4 × 3 = 12 cases pour seulement 111 étudiants, dont 11 sur tablette. Voici les effectifs attendus :
| Attendu si indépendance | Desktop | Laptop | Tablet |
|---|---|---|---|
| Freshman | 2,52 | 10,09 | 1,39 |
| Sophomore | 4,32 | 17,30 | 2,38 |
| Junior | 4,86 | 19,46 | 2,68 |
| Senior | 8,29 | 33,15 | 4,56 |
Chi-Square Tests
| Value | df | Asymptotic Significance (2-sided) | |
|---|---|---|---|
| Pearson Chi-Square | 19.557a | 6 | .003 2 |
| Likelihood Ratio | 20.900 | 6 | .002 |
| Linear-by-Linear Association | 2.086 | 1 | .149 |
| N of Valid Cases | 111 |
a. 7 cells (58.3%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 1.39. 1
- 17 cases sur 12 (58,3 %) ont un attendu sous 5, et la plus petite vaut 1,39. La condition est très loin d'être remplie.
- 2La p-value du khi-deux (0,003) a l'air spectaculaire, mais elle repose sur une approximation qui ne tient pas ici. On ne peut pas l'utiliser pour conclure. Et comme le tableau n'est pas un 2×2, SPSS n'affiche pas Fisher automatiquement.
Deux solutions :
- Regrouper des modalités qui ont du sensPar exemple « Freshman + Sophomore » (1ʳᵉ et 2ᵉ années) contre « Junior + Senior », et « Desktop » contre « Laptop ou Tablet ». Le tableau 2×2 obtenu a tous ses attendus au-dessus de 5 (le plus petit vaut 6,85) : χ² = 6,364 et p = 0,012 (Fisher donne 0,017). On rejette H0 à 5 %. Le regroupement doit se décider sur le sens des catégories, pas pour obtenir une jolie p-value.
- Demander un test exactL'extension de Fisher aux grands tableaux, via le bouton Exact… de Crosstabs, si ta version de SPSS le propose (sinon, la méthode Monte Carlo). Utile pour ton projet ; pas de question dessus à l'examen.
11Décrire le sens du lien : les pourcentages en ligne
Quand le test est significatif, il dit seulement qu'il existe un lien. Il ne dit ni lequel, ni s'il est fort. Pour le décrire, on compare les pourcentages en ligne d'une ligne à l'autre (c'est pour ça qu'on les a demandés dans Cells).
Une conclusion complète donne la décision puis le sens du lien :
After grouping categories, all expected counts are at least 5. The p-value (0.012) is smaller than 0.05, so we reject H0: there is enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the year of study and the use of a desktop computer are dependent. In the sample, 24.7% of juniors and seniors use a desktop, compared with 5.3% of freshmen and sophomores.
12Les pièges
La règle porte sur le tableau attendu (Expected Count), pas sur l'observé. Une case observée à 4 peut être acceptable si son attendu dépasse 5, et l'inverse. Le plus simple : lis la note « a. » sous le tableau Chi-Square Tests.
Le tableau Chi-Square Tests contient jusqu'à six lignes. Au programme, seulement deux : Pearson Chi-Square (si toutes les cases attendues ≥ 5) ou Fisher's Exact Test, colonne Exact Sig. (2-sided) (sinon, pour un 2×2). Ignore Likelihood Ratio, Continuity Correction et Linear-by-Linear Association.
« 32,6 % des Seniors sont sur Desktop » (pourcentage en ligne) n'est pas « 75 % des utilisateurs de Desktop sont Seniors » (15 sur 20, pourcentage en colonne). Mets en ligne les groupes que tu compares, et compare les pourcentages d'une ligne à l'autre.
Ne pas rejeter H0 ne prouve pas que les variables sont indépendantes (on n'a pas assez de preuves d'un lien). Et rejeter H0 ne prouve pas une causalité : le test dit que les variables sont liées, pas que l'une provoque l'autre.
13Teste-toi
Un tableau 2×2 a pour totaux : ligne « Homme » = 30, colonne « Oui » = 20, total général = 100. Quel est l'effectif attendu de la case Homme × Oui ?
- 20 C'est le total de la colonne. Il faut ensuite prendre la part des hommes : 30 % de 20.
- 6 Oui : 30 × 20 / 100 = 6. C'est au-dessus de 5, la case respecte la règle.
- 15 Non : ce serait la moitié de 30, comme si la moitié des gens répondaient « Oui ». Or seuls 20 % le font.
Sous le tableau Chi-Square Tests d'un 2×2, tu lis : « a. 1 cells (25.0%) have expected count less than 5 ». Quelle p-value cites-tu ?
- Pearson Chi-Square, Asymptotic Significance Non : une case attendue sous 5 suffit à rendre le khi-deux non fiable selon la règle du cours.
- Fisher's Exact Test, Exact Sig. (2-sided) Oui : c'est la solution de secours prévue par le cours, calculée automatiquement pour un 2×2.
- Fisher's Exact Test, Exact Sig. (1-sided) Bonne ligne, mauvaise colonne : H1 (« dépendantes ») est bilatéral, on lit la colonne 2-sided.
On veut savoir si la proportion de clients satisfaits est la même à Lille, Paris et Londres. Quel test ?
- Trois tests binomiaux Le test binomial compare une proportion à une valeur cible, pas des proportions entre groupes.
- Le khi-deux (Crosstabs ville × satisfaction) Oui : comparer des proportions entre groupes, c'est le même test que l'indépendance, et il marche pour 3 groupes ou plus.
- Un test t pour échantillons indépendants Non : « satisfait oui/non » est qualitatif, on ne compare pas des moyennes. Et il y a trois groupes.
Khi-deux lisible, p = 0,070, α = 5 %. Que conclus-tu ?
- On rejette H0 : les variables sont liées Non : 0,070 > 0,05.
- On accepte H0 : les variables sont indépendantes On ne dit jamais « accept H0 », et ne pas rejeter ne prouve pas l'indépendance.
- On ne rejette pas H0 ; le résultat est « peu significatif » Oui : pas assez de preuves à 5 %, mais p est entre 5 % et 10 % (« not very significant »).
Le test est significatif. Comment décris-tu le lien ?
- Avec la valeur du khi-deux : plus elle est grande, plus le lien est fort Pas au programme, et le χ² grandit aussi avec la taille de l'échantillon : ce n'est pas une mesure de force.
- En comparant les pourcentages en ligne entre les groupes Oui : c'est là qu'on voit quel groupe se distingue et dans quel sens.
- En comparant les effectifs observés bruts Les effectifs dépendent de la taille de chaque groupe (46 Seniors contre 14 Freshmen) : il faut des pourcentages.
En résumé
- Deux variables qualitatives → khi-deux d'indépendance. H0 : indépendance ; H1 : dépendance. Menu Crosstabs (Statistics : Chi-square ; Cells : Observed, Expected, Row).
- Attendu = total ligne × total colonne / total général. Le χ² mesure l'écart entre observé et attendu.
- Règle du cours : au moins 5 dans chaque case attendue (note « a. »). Sinon : Fisher's Exact Test (2×2) ou regrouper des modalités.
- Comparer des proportions entre groupes = le même test.
- Si c'est significatif, décris le sens du lien avec les pourcentages en ligne.
Pour t'entraîner : exercices du chapitre 3.
Tu as tout compris ?
Coche la leçon : ta progression s'affiche dans le menu.