Population et échantillon : pourquoi une estimation varie
Pourquoi interroge-t-on 1 000 personnes au lieu de tout le monde, et pourquoi deux échantillons ne donnent-ils jamais le même chiffre ?
- Distinguer population et échantillon, paramètre et statistique (µ et x̄, σ et s, π et p̂)
- Reconnaître un échantillon biaisé et expliquer ce qu'est un échantillon aléatoire simple
- Faire la différence entre un estimateur (une méthode) et une estimation (un nombre)
- Citer les quatre qualités d'un bon estimateur
- Expliquer pourquoi la moyenne d'un échantillon change d'un échantillon à l'autre
Au chapitre 1, tu décrivais les données que tu avais sous les yeux. À partir de maintenant, on fait un saut : on veut dire quelque chose sur des gens qu'on n'a pas interrogés. Le professeur le dit lui-même : ce chapitre est facile dans SPSS, mais c'est la fondation de tout ce qui suit. Cette première leçon pose le vocabulaire et une idée clé : une estimation varie d'un échantillon à l'autre, et ce n'est pas une erreur.
1Ce que tu sais déjà
Au chapitre 1, tu as appris à résumer une variable : moyenne, médiane, écart-type (voir la leçon sur le centre et la dispersion). Par exemple, dans le fichier StudentSurvey, les 111 étudiants interrogés ont une moyenne générale (GPA) de 3,11 sur 4.
Mais une école, une banque ou une marque ne s'intéresse presque jamais à ces 111 personnes-là. La vraie question, c'est : « et pour tous les étudiants ? » Passer de « quelques-uns » à « tous » s'appelle l'inférence. C'est le sujet des chapitres 2 et 3.
2Pourquoi on travaille sur un échantillon
La population, c'est l'ensemble de tous les individus (ou objets) qui t'intéressent : tous les clients d'une banque, tous les étudiants d'une école, tous les invités d'un mariage. L'échantillon, c'est la partie de la population que tu observes réellement.
Interroger toute la population (on parle de recensement) est rare. Le cours donne trois raisons :
Le coût
Plus il y a de données, plus l'étude coûte cher. C'est moins vrai aujourd'hui, mais on teste encore souvent une idée sur un échantillon limité avant de la déployer partout.
L'accès
Les données existent, mais tu ne peux pas les obtenir : un profil Facebook privé, des clients qui ne répondent pas au téléphone.
L'existence
Les données n'existent tout simplement pas : tout le monde n'est pas abonné à Netflix, toutes les maisons ne sont pas en vente au même moment.
On observe un échantillon pour en déduire (on dit inférer) quelque chose sur la population.
Tout le chapitre 2 répond à une seule question : jusqu'à quel point peut-on faire confiance à ce qu'on déduit ?
3Bien choisir son échantillon
La base de sondage
Avant de tirer un échantillon, il te faut une base de sondage (frame) : la liste des individus parmi lesquels tu vas tirer. Ça peut être un fichier clients, un annuaire, la liste des inscrits d'une école. Si cette liste est mauvaise, ton échantillon le sera aussi.
Deux exemples d'échantillons biaisés
Le restaurant à Lille (exemple du cours). Tu es consultant(e) en gestion de marque. Un restaurant lillois veut savoir s'il est connu des Lillois. Tu n'as pas la liste des habitants. Idée tentante : interroger les passants devant le restaurant. Mauvaise idée ! Les gens qui passent devant ce restaurant, ce jour-là, à cette heure-là, connaissent forcément mieux l'endroit que le Lillois moyen. Ton échantillon va surestimer la notoriété.
Le tennis (exemple du chapitre 1). Tu veux savoir si les Français aiment jouer au tennis. Tu postes ton questionnaire sur la page des étudiants de l'IESEG, tu l'envoies à ta famille, ou tu le distribues dans un club de tennis. Dans les trois cas, le professeur met… zéro. Les répondants sont trop jeunes, trop proches de toi, ou trop sportifs : ils ne ressemblent pas aux Français.
Pour savoir si une soupe est assez salée, tu n'as pas besoin de boire toute la casserole : une cuillère suffit… à condition d'avoir bien mélangé. Si tu goûtes seulement la surface, là où le sel n'est pas encore descendu, ta cuillère te ment.
En statistique, c'est le hasard qui mélange la soupe.
L'échantillon aléatoire simple
La solution s'appelle l'échantillon aléatoire simple (simple random sample) : chaque individu de la base de sondage a la même probabilité d'être tiré. En pratique : tirer au sort 500 numéros dans le fichier complet des clients, et non prendre « ceux qui veulent bien répondre ». Dans tout le chapitre 2, on suppose qu'on travaille avec un échantillon de ce type.
Si tu récoltes 20 000 réponses dans des clubs de tennis, ton échantillon est énorme… et toujours aussi faux pour parler des Français.
La taille réduit l'effet du hasard, jamais le biais. Mieux vaut 500 personnes tirées au hasard que 20 000 personnes mal choisies.
4Paramètre ou statistique : deux mondes, deux alphabets
Un paramètre est un nombre qui décrit la population : l'âge moyen de tous les invités, la proportion de tous les étudiants qui ont un ordinateur portable. Il est fixe (il n'y a qu'une seule vraie valeur), mais inconnu.
Une statistique est un nombre calculé sur l'échantillon : l'âge moyen des invités que tu as interrogés. Elle est connue (tu l'as calculée), mais elle change si tu changes d'échantillon.
Pour ne jamais les confondre, on utilise deux alphabets : grec pour la population, latin pour l'échantillon.
| Ce qu'on mesure | Population : paramètre fixe, inconnu | Échantillon : statistique connue, variable |
|---|---|---|
| Taille | N | n |
| Moyenne | µ (« mu ») | x̄ (« x barre ») |
| Écart-type | σ (« sigma ») | s |
| Proportion | π (« pi », rien à voir avec 3,14) | p̂ (« p chapeau ») |
Avec nos vraies données (StudentSurvey, 111 étudiants) : x̄ = 3,11 de GPA moyen, s = 0,40, et p̂ = 80/111 = 72,1 % des étudiants utilisent un ordinateur portable. Ce sont des statistiques. Les paramètres correspondants (µ, σ et π pour tous les étudiants de l'université) restent inconnus : on va les estimer.
Population → paramètre → lettres grecques (µ, σ, π) → fixe mais inconnu.
Échantillon → statistique → lettres latines (x̄, s, p̂) → connue mais variable.
On se sert de la statistique pour estimer le paramètre.
5Dans SPSS : tout ce que tu lis est une statistique
SPSS ne connaît que ton fichier, c'est-à-dire ton échantillon. Quand il affiche une moyenne, c'est toujours x̄, jamais µ. Exemple sur StudentSurvey :
→ Variables : GPA, Age → Options : coche Mean et Std. deviation → OK.
Descriptive Statistics
| N 1 | Mean 2 | Std. Deviation 3 | |
|---|---|---|---|
| GPA | 111 | 3.11 | .402 |
| Age | 111 | 21.97 | 2.402 |
| Valid N (listwise) | 111 |
- 1N = 111 : attention au piège de vocabulaire ! Dans SPSS, « N » est le nombre de lignes de ton fichier, donc la taille de l'échantillon. Dans le cours, on l'appelle n (petit n).
- 2Mean = x̄. 3,11 est une estimation du GPA moyen µ de tous les étudiants, pas µ lui-même.
- 3Std. Deviation = s, calculé en divisant par n − 1 (vu au chapitre 1). C'est une estimation de σ.
6Le mariage : chaque table donne une moyenne différente
Voici l'exemple fil rouge du cours. Un mariage réunit 300 invités. Tu veux connaître leur âge moyen, mais tu n'as pas le temps d'interroger tout le monde. Les invités sont placés au hasard aux tables (sauf la table des enfants !). Tu choisis une table au hasard et tu interroges tous ceux qui y sont assis : c'est ton échantillon.
- Population : N = 300 invités.
- Échantillon : n = le nombre d'invités à la table choisie.
- Si tu pouvais interroger tout le monde, tu trouverais µ = 40 ans et σ = 10 ans. Dans la vraie vie, tu ne connais pas ces valeurs ; ici, on les connaît pour voir ce qui se passe.
Trois choses à remarquer :
- Chaque table donne une moyenne différenteUne table trouve 37 ans, une autre 43. C'est la fluctuation d'échantillonnage : ce n'est pas une erreur de calcul, c'est le hasard du tirage.
- Les moyennes tournent autour de 40Certaines tables sont trop jeunes, d'autres trop âgées, mais l'histogramme des moyennes est centré sur µ = 40. La méthode ne se trompe pas « toujours dans le même sens ».
- Plus la table est grande, moins ça bougePasse de 5 à 40 invités par table : l'histogramme se resserre. Une grande table « se trompe » en général moins qu'une petite.
Une estimation (la moyenne d'une table) n'est presque jamais exactement égale au paramètre (µ = 40). Elle varie d'un échantillon à l'autre, mais de façon prévisible : autour de µ, et d'autant moins que n est grand.
La leçon suivante mesure précisément cette variation : c'est elle qui permettra de construire les intervalles de confiance.
7Estimateur et estimation : la recette et le gâteau
Le professeur insiste sur une distinction qui paraît pointilleuse, mais qui revient à l'examen.
Estimateur (estimator)
Une méthode : une règle, une formule, définie avant de voir les données. Ce n'est pas un nombre.
Ex. : « je tire 10 invités au hasard, je note leur âge et je calcule leur moyenne ».
Estimation (estimate)
Le nombre obtenu en appliquant la méthode à un échantillon précis. Il change d'un échantillon à l'autre ; la méthode, elle, reste la même.
Ex. : « sur ma table, j'obtiens 34 ans ».
L'estimateur, c'est la recette du gâteau. L'estimation, c'est le gâteau d'aujourd'hui. Même recette, chaque gâteau est un peu différent.
Juger une recette, c'est se demander si elle donne en général de bons gâteaux, pas juger un seul gâteau. C'est exactement ce qu'on fait avec les qualités d'un estimateur, juste en dessous.
Une estimation qui donne un seul nombre (34 ans) s'appelle une estimation ponctuelle (point estimate). Dans les leçons 3 et 4, on l'entourera d'une marge : ce sera l'intervalle de confiance.
8Qu'est-ce qu'un bon estimateur ?
Le plus souvent, le choix est évident : la moyenne de l'échantillon pour estimer la moyenne de la population, la proportion de l'échantillon pour estimer la proportion de la population. Mais pas toujours.
Exemple du cours : tu veux estimer le revenu moyen d'une population où quelques personnes gagnent des milliards. Si un milliardaire tombe dans ton échantillon, la moyenne de l'échantillon explose et ne veut plus rien dire. Une stratégie possible : prendre la médiane de l'échantillon. Elle n'est pas égale à la moyenne, mais ici elle donne une idée bien plus fiable (revois l'effet d'une valeur extrême dans la leçon sur la moyenne et la médiane).
Pour comparer des méthodes, on regarde quatre qualités :
| Qualité | Ce que ça veut dire | Exemple |
|---|---|---|
| Sans biais unbiased | Pas d'erreur systématique : en moyenne, sur tous les échantillons possibles, on tombe sur la vraie valeur. | x̄ pour estimer µ ; s calculé avec n − 1 (chapitre 1). |
| Convergent consistent | Plus n est grand, plus le risque d'obtenir une valeur loin de la vraie est faible. | x̄ : au mariage, les grandes tables se trompent moins. |
| Efficace efficient | À taille d'échantillon égale, c'est la méthode qui tend à être la plus précise (elle varie le moins d'un échantillon à l'autre). | Pour des données normales, x̄ varie moins que la médiane. |
| Robuste robust | Peu sensible aux valeurs aberrantes. | La médiane est robuste ; la moyenne ne l'est pas. |
« Problème amusant », dit le professeur : on ne peut pas avoir toutes ces qualités en même temps. La moyenne est sans biais, convergente et efficace pour des données normales, mais pas robuste. La médiane est robuste, mais moins efficace. Choisir un estimateur, c'est toujours choisir un compromis.
9Rédiger les définitions comme à l'examen
Ces définitions peuvent t'être demandées « avec tes mots ». Retiens surtout l'idée : fixe et inconnu d'un côté, calculé et variable de l'autre.
Paramètre et statistique :
A parameter is a numerical characteristic of the population (for example the population mean µ). It is fixed but usually unknown. A statistic is computed from a sample (for example the sample mean x̄) and is used to estimate the parameter.
Estimateur et estimation :
An estimator is a rule or a method, defined before the data are collected, to estimate a parameter. An estimate is the value we obtain when we apply the estimator to a given sample: it changes from one sample to another.
Échantillon aléatoire simple :
In a simple random sample, every individual of the frame has the same probability of being selected.
10Pièges
« x̄ = 3,11, donc le GPA moyen de tous les étudiants est 3,11. »
Non : 3,11 est une estimation de µ. Avec 111 autres étudiants tirés au hasard, tu aurais obtenu un chiffre un peu différent. La leçon 3 te dira de combien il peut bouger.
« Mon échantillon est très grand, donc il est représentatif. »
Non : la taille réduit le hasard, pas le biais. 20 000 joueurs de tennis restent des joueurs de tennis. Ce qui rend un échantillon représentatif, c'est le tirage au hasard dans une bonne base de sondage.
« Dans SPSS, N est la taille de la population. »
Non : SPSS appelle « N » le nombre d'observations de ton fichier, c'est-à-dire la taille de l'échantillon (n dans le cours).
« L'estimateur, c'est 34 ans. »
Non : 34 ans est l'estimation (un nombre). L'estimateur est la méthode qui a produit ce nombre (« moyenne de 10 invités tirés au hasard »).
11Teste-toi
Un sondage auprès de 1 000 Français tirés au hasard indique que 38 % d'entre eux aiment le tennis. Ce nombre, 38 %, est…
- un paramètre (π) Non : π serait la proportion chez tous les Français, que personne ne connaît. 38 % est calculé sur les 1 000 répondants.
- une statistique (p̂) Oui : il est calculé sur l'échantillon. C'est une estimation de π, la vraie proportion chez tous les Français.
- la taille de l'échantillon Non : la taille de l'échantillon est n = 1 000.
Une banque veut mesurer la satisfaction de ses clients. Quelle méthode donne un échantillon aléatoire simple ?
- Interroger les clients présents en agence un lundi matin Biaisé : les clients qui viennent en agence un lundi matin (retraités, personnes qui ont un problème…) ne ressemblent pas à l'ensemble des clients.
- Mettre un questionnaire en ligne sur le site de la banque Biaisé : seuls répondent ceux qui le veulent bien, souvent les très contents ou les très mécontents.
- Tirer au sort 500 numéros dans le fichier complet des clients Oui : la base de sondage est complète et chaque client a la même chance d'être tiré.
- Interroger 5 000 clients qui ont appelé le service réclamations Gros échantillon, mais très biaisé : ce sont justement des clients qui ont eu un problème.
« Je tire 20 personnes au hasard et je calcule la médiane de leurs revenus. » Cette phrase décrit…
- un estimateur Oui : c'est une méthode, définie avant de voir les données. Il n'y a encore aucun nombre.
- une estimation Non : une estimation est un nombre (par exemple « 2 100 € »), obtenu après avoir appliqué la méthode.
- un paramètre Non : un paramètre est une caractéristique de la population (par exemple le vrai revenu médian de tous les habitants).
Et pourquoi la médiane plutôt que la moyenne ? Parce qu'elle est robuste : un milliardaire tiré par hasard ne la fait pas exploser.
Au mariage (µ = 40 ans), tu passes de tables de 5 invités à des tables de 40 invités. Que deviennent les moyennes des tables ?
- Elles sont toutes exactement égales à 40 Non : même avec 40 invités, chaque table garde sa part de hasard. Elle tombe près de 40, rarement pile dessus.
- Elles sont en général plus proches de 40 Oui : plus l'échantillon est grand, moins sa moyenne s'éloigne de µ. C'est la qualité « convergent ».
- Elles se rapprochent d'une autre valeur que 40 Non : la moyenne de l'échantillon est sans biais, elle reste centrée sur µ = 40 quelle que soit la taille des tables.
En résumé
- La population est l'ensemble étudié ; l'échantillon est la partie observée. On l'utilise pour inférer ce qui se passe dans la population.
- Un bon échantillon est tiré au hasard dans une bonne base de sondage. Un gros échantillon biaisé reste biaisé.
- Paramètre (µ, σ, π) : population, fixe, inconnu. Statistique (x̄, s, p̂) : échantillon, connue, variable.
- Estimateur = la méthode ; estimation = le nombre obtenu. Qualités : sans biais, convergent, efficace, robuste.
- Chaque échantillon donne une estimation différente, mais autour de la vraie valeur, et d'autant moins dispersée que n est grand.
Pour t'entraîner : exercices du chapitre 2.
Tu as tout compris ?
Coche la leçon : ta progression s'affiche dans le menu.