Chapitre 3 · Leçon 5

Comparer une moyenne à une valeur : le test t à un échantillon

« Les étudiants visent-ils vraiment 50 k$ de salaire en moyenne ? » Comment répondre avec SPSS, de la question jusqu'à la phrase d'examen ?

30 min

À la fin, tu sauras

Reconnaître une situation de test t à un échantillon
Vérifier la condition d'utilisation (n > 50 ou normalité)
Lancer le test dans SPSS et lire chaque case des deux tableaux de sortie
Passer de l'intervalle de la différence à l'intervalle de la moyenne
Traiter un cas unilatéral et distinguer « significatif » et « important »

Le test t à un échantillon est, dit le professeur, « le plus célèbre du monde » : tous les cours de statistique commencent par lui. C'est aussi celui dont tu auras le plus besoin dans ton projet, dès qu'une question ressemble à « peut-on dire que la moyenne vaut … ? ». Cette leçon le déroule de A à Z sur deux exemples réels, l'un significatif, l'autre non.

1Ce que tu sais déjà

Dans la leçon 4, les 4 questions t'ont menée au test t à un échantillon dans ce cas précis : un seul groupe, une variable quantitative, comparée à une valeur cible. Tu l'as même déjà vu tourner : le GPA comparé à 3 (leçon 3) et l'âge des clients de la banque comparé à 41 ans (leçon 4).

Ici, on prend le temps de tout comprendre : d'où vient le t, comment vérifier la condition, comment lire chaque case de la sortie, et comment traiter un cas unilatéral.

2Quand l'utiliser ?

Le test t à un échantillon répond à une seule question : la moyenne de la population vaut-elle une valeur donnée µ₀ ? Exemples du cours : le prix moyen des maisons de la ville est-il de 300 000 € ? L'âge moyen de mes clients est-il de 40 ans ? Le prix moyen d'un ordinateur portable dans ce pays vaut-il le prix annoncé ?

Les ingrédients

Un seul échantillon. Une variable quantitative (âge, prix, salaire…). Une valeur de référence µ₀ : annoncée, historique, ou un objectif.

Les hypothèses

Bilatéral : H0 : µ = µ₀ ; H1 : µ ≠ µ₀.

Unilatéral : H0 : µ ≤ µ₀ ; H1 : µ > µ₀ (ou l'inverse, avec ≥ et <).

One-Sample T Test = test t (de Student) à un échantillonTest Value = valeur testée µ₀Mean Difference = écart moyen $\bar{x} - \mu_0$Std. Error Mean = erreur standard de la moyennedf (degrees of freedom) = degrés de liberté

L'idée : comparer l'écart au hasard

Ton échantillon donne une moyenne $\bar{x}$, forcément un peu différente de µ₀. La question est : cet écart est-il grand par rapport à ce que le hasard produit d'habitude ? Ce « hasard d'habitude », tu le connais : c'est l'erreur standard $s/\sqrt{n}$ vue au chapitre 2, l'écart typique entre la moyenne d'un échantillon et celle de la population.

\[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \]

$\bar{x}$ : la moyenne de l'échantillon (observed value)

$\mu_0$ : la valeur testée (expected value, la « Test Value » de SPSS)

$s$ : l'écart-type de l'échantillon ; $n$ : sa taille

$s/\sqrt{n}$ : l'erreur standard (« Std. Error Mean » dans SPSS)

L'idée

t compte combien d'erreurs standard séparent ta moyenne de la valeur testée. Autour de 0 : l'écart s'explique très bien par le hasard. Au-delà d'environ 2 (en valeur absolue) : c'est suspect, et on rejette H0 au seuil de 5 %.

Le calcul, pas à pas

Sur StudentSurvey, les 111 étudiants espèrent en moyenne un salaire de $\bar{x}$ = 54,55 k$ (milliers de dollars), avec un écart-type s = 10,54 k$. Testons µ₀ = 50 k$.

Erreur standard : $10{,}54 / \sqrt{111} = 10{,}54 / 10{,}54 \approx 1{,}00$ k$ (petite coïncidence : $\sqrt{111} \approx 10{,}54$).
$t = (54{,}55 - 50) / 1{,}00 \approx 4{,}55$.

La moyenne est à plus de 4 erreurs standard de 50 : c'est énorme. SPSS affichera t = 4,549, car il garde toutes les décimales. Tu n'auras jamais à faire ce calcul à l'examen, mais tu dois savoir ce que t représente.

Pourquoi « t » et pas « z » ? Parce qu'on ne connaît pas l'écart-type σ de la population : on le remplace par celui de l'échantillon, s. Cela ajoute de l'incertitude, et la courbe de référence n'est plus la loi normale mais la loi de Student, avec n − 1 degrés de liberté (df = 110 ici). Avec un grand échantillon, les deux courbes se ressemblent beaucoup (chapitre 2).

Deux questions de cours à l'examen

« Pourquoi utilise-t-on la loi de Student ? » et « Qu'est-ce qu'un degré de liberté ? » (une définition imparfaite est acceptée) :

We use Student's t distribution because the population standard deviation is unknown: it is estimated by the sample standard deviation. The number of degrees of freedom is n − 1 = 110, the number of values that can vary freely once the sample mean is known.

3La condition : n > 50 ou des données normales

Le test t est paramétrique : il suppose que la moyenne de l'échantillon suit à peu près une loi normale. C'est le cas dans deux situations :

l'échantillon est grand : n > 50 (30 dans certains livres). Grâce au théorème central limite, la moyenne est alors normale, même si les données ne le sont pas ;
ou la variable elle-même est normale : histogramme en cloche, QQ-plot aligné, test de Shapiro-Wilk non significatif.

Si n < 50 et que les données ne sont pas normales : stop, le test t n'est pas utilisable (le plan B, Wilcoxon, est hors examen).

4Les 8 étapes sur un exemple : le salaire espéré

Imaginons que le service carrières de l'université affirme dans sa brochure que les étudiants visent en moyenne un salaire de 50 k$ à la sortie. Les données de StudentSurvey (111 étudiants, variable Salary = salaire espéré, en milliers de dollars) sont-elles compatibles avec cette affirmation ?

HypothèsesH0 : µ = 50 ; H1 : µ ≠ 50. On vérifie l'affirmation sans idée de sens : bilatéral.
Sur quoi ?Une moyenne, un seul échantillon, une valeur cible.
Le testOne-Sample T Test.
Conditionsn = 111 > 50 : c'est bon (voir l'histogramme ci-dessus).
Risqueα = 5 %.
p-valueÀ lire dans SPSS, ci-dessous.
DécisionComparer p à 0,05.
ConclusionEn anglais, en contexte (section 7).

5Dans SPSS

Dans SPSS

Analyze › Compare Means › One-Sample T Test → Test Variable(s) : Salary → Test Value : 50 → (Options… : niveau de l'intervalle, 95 % par défaut) → OK.

Trois réglages à connaître dans cette fenêtre :

Test Value : c'est µ₀. SPSS propose 0 par défaut. Si tu oublies de la changer, tu testes « le salaire moyen est-il nul ? »… et tu rejettes H0 à tous les coups.
Options… → Confidence Interval Percentage : le niveau de l'intervalle (95 % par défaut ; 99 % si α = 1 %, 90 % si α = 10 %).
Selon la version, SPSS affiche aussi un tableau One-Sample Effect Sizes (case « Estimate effect sizes »). Il n'est pas au programme : ignore-le.

Sortie SPSS · Output Viewer

One-Sample Statistics

	N	Mean	Std. Deviation	Std. Error Mean
Salary	111 1	54.550	10.536	1.000

One-Sample Test

	Test Value = 50 2
	t	df	Significance		Mean Difference	95% Confidence Interval of the Difference
	t	df	One-Sided p	Two-Sided p	Mean Difference	Lower	Upper
Salary	4.549 3	110	<.001	<.001 4	4.550	2.568	6.531 5

1N = 111 > 50 : la condition est remplie. Sur la même ligne : la moyenne de l'échantillon (54,55 k$), son écart-type (10,536) et l'erreur standard (1,000).
2Test Value = 50 : vérifie toujours que c'est bien le µ₀ de ta question.
3t = 4,549 : la moyenne est à 4,5 erreurs standard de 50. Il est positif car la moyenne observée est au-dessus de 50. df = 110 = n − 1.
4La p-value : test bilatéral, donc colonne Two-Sided p < 0,001. Plus petit que 0,05 : on rejette H0. On écrit « p < 0,001 », jamais « p = 0 ».
5Mean Difference = 54,550 − 50 = 4,550 k$, et son intervalle de confiance à 95 % : [2,568 ; 6,531]. Il ne contient pas 0. Comment le lire ? Section suivante.

6De l'intervalle de la différence à l'intervalle de la moyenne

SPSS ne donne pas l'intervalle de confiance de la moyenne, mais celui de la différence entre la vraie moyenne et la valeur testée. Le professeur trouve lui-même cette présentation « un peu étrange » : c'est une façon compliquée de dire quelque chose de simple. Pour retrouver l'intervalle de la moyenne, il suffit d'ajouter la valeur testée aux deux bornes.

\[ [\,2{,}568 \;;\; 6{,}531\,] + 50 = [\,52{,}568 \;;\; 56{,}531\,] \]

On est confiant à 95 % que le salaire moyen espéré par l'ensemble des étudiants est entre 52,57 et 56,53 k$.

C'est exactement l'intervalle que donne Analyze › Descriptive Statistics › Explore (chapitre 2).

À retenir

Pour un test bilatéral au seuil de 5 %, trois façons de dire la même chose :

p < 0,05 ;
l'intervalle à 95 % de la différence ne contient pas 0 ;
l'intervalle à 95 % de la moyenne ne contient pas µ₀.

Elles donnent toujours la même décision. Ici : 0 n'est pas dans [2,568 ; 6,531] et 50 n'est pas dans [52,57 ; 56,53], donc on rejette H0.

Et si on règle Options › Confidence Interval Percentage sur 99 ? t, df et les p-values ne bougent pas : seul l'intervalle s'élargit, [1,928 ; 7,171] pour la différence, soit [51,93 ; 57,17] k$ pour la moyenne. Il ne contient toujours pas 50 : on rejetterait H0 même au seuil de 1 %.

7Un résultat non significatif : les dépenses

Même procédure, autre question : les étudiants dépensent-ils 900 $ par semestre en moyenne ? H0 : µ = 900 ; H1 : µ ≠ 900. Condition : n = 111 > 50, c'est bon, même si les dépenses sont très asymétriques (quelques gros dépensiers montent jusqu'à 2 000 $).

Dans SPSS

Analyze › Compare Means › One-Sample T Test → Test Variable(s) : Spending → Test Value : 900 → OK.

Sortie SPSS · Output Viewer

One-Sample Statistics

	N	Mean	Std. Deviation	Std. Error Mean
Spending	111	917.523	230.672	21.894

One-Sample Test

	Test Value = 900
	t	df	Significance		Mean Difference	95% Confidence Interval of the Difference
	t	df	One-Sided p	Two-Sided p	Mean Difference	Lower	Upper
Spending	.800	110	.213	.425 1	17.523	-25.867	60.912 2

1Two-Sided p = 0,425, bien plus grand que 0,05 : on ne rejette pas H0. Normal : t = 0,80, la moyenne n'est qu'à 0,8 erreur standard de 900, un écart banal.
2L'intervalle de la différence, [−25,867 ; 60,912], contient 0. En ajoutant 900 : la dépense moyenne est entre 874,13 et 960,91 $, un intervalle qui contient 900. Les trois critères concordent.

8Le cas unilatéral : One-Sided p, avec prudence

Depuis SPSS 29, la sortie affiche deux p-values. One-Sided p vaut la moitié de Two-Sided p : c'est l'aire orange d'un seul côté, celui vers lequel penche ton échantillon. SPSS ne connaît pas ton H1 ! D'où une règle à appliquer à la lettre :

À retenir

Pour un test unilatéral, regarde d'abord le sens de l'écart observé (le signe de t ou de la Mean Difference) :

il va dans le sens de H1 → ta p-value est One-Sided p ;
il va dans le sens contraire → inutile d'aller plus loin : on ne rejette pas H0 (la vraie p-value dépasse même 0,5).

Question	H0 / H1	Écart observé	p-value à utiliser	Décision (α = 5 %)
Les étudiants visent-ils plus de 50 k$ ?	µ ≤ 50 / µ > 50	+4,55 : dans le sens de H1	One-Sided p < 0,001	Reject H0
Dépensent-ils plus de 900 $ ?	µ ≤ 900 / µ > 900	+17,52 : dans le sens de H1	One-Sided p = 0,213	Fail to reject H0
Visent-ils moins de 50 k$ ?	µ ≥ 50 / µ < 50	+4,55 : sens contraire à H1	Ni l'une ni l'autre : la vraie p-value dépasse 0,999	Fail to reject H0

Le troisième cas est le piège : SPSS affiche « One-Sided p < .001 », mais cette aire est calculée du côté des salaires élevés. Pour H1 : µ < 50, l'échantillon (54,55 k$) ne va pas du tout dans le bon sens. Aucune preuve que les étudiants visent moins de 50 k$.

À l'examen

Pour le premier cas (H1 : µ > 50) :

The sample mean (54.55) is above 50, in the direction of H1, so we read the one-sided p-value (< 0.001). It is smaller than 0.05, so we reject H0. There is enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the mean expected salary of students is greater than $50k.

9Significatif ne veut pas dire important

Compare ces quatre résultats réels :

Test	n	Écart observé	p (bilatéral)	Significatif ?
Âge des clients (BankMarketing) vs 41 ans	979	−0,84 an	0,005	oui
Âge des clients vs 40 ans	979	+0,16 an	0,592	non
Dépenses des étudiants vs 900 $	111	+17,52 $	0,425	non
Salaire espéré vs 50 k$	111	+4,55 k$	< 0,001	oui

Avec 979 clients, l'erreur standard est minuscule (0,299 an) : même un écart de 0,84 an, sans intérêt pratique pour une banque, devient « significatif ». Avec 111 étudiants, un écart de 17,52 $ sur un budget de 900 $ (environ 2 %) passe inaperçu. Regarde la formule de t : plus n est grand, plus le dénominateur $s/\sqrt{n}$ est petit, et plus le moindre écart donne un grand t.

L'idée

« Significatif » veut dire : l'écart n'est probablement pas dû au hasard. Pas qu'il est grand, ni utile. Après un test, regarde toujours la Mean Difference (et son intervalle) pour juger si l'écart compte en pratique. Ça, c'est une décision de manager, pas de statistique.

10Rédiger comme à l'examen

À l'examen

Le salaire espéré (bilatéral) :

The p-value (< 0.001) is smaller than the 5% level of significance, so we reject H0. There is enough statistical evidence, at a 5% risk level, to say that the mean expected salary of students is different from $50k. We are 95% confident that it lies between $52.57k and $56.53k.

Les dépenses (bilatéral) :

The p-value (0.425) is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the mean spending of students differs from $900 per semester.

11Les pièges à éviter

Piège n° 1 : la Test Value oubliée

SPSS met 0 par défaut. Une sortie avec « Test Value = 0 » teste si la moyenne est nulle : presque toujours absurde. Vérifie la ligne du haut du tableau One-Sample Test.

Piège n° 2 : confondre les deux intervalles

~~« Le salaire moyen est entre 2,57 et 6,53 k$. »~~

Non : c'est l'intervalle de l'écart à 50. Ajoute la valeur testée : entre 52,57 et 56,53 k$.

Piège n° 3 : la mauvaise colonne

H1 avec « ≠ » : lis Two-Sided p. H1 avec « < » ou « > » : lis One-Sided p, et seulement si l'écart observé va dans le sens de H1.

Piège n° 4 : « t est négatif, il y a une erreur »

Non : un t négatif signifie seulement que la moyenne de l'échantillon est sous la valeur testée (BankMarketing : 40,16 ans contre 41, t = −2,808). C'est la p-value qui décide, pas le signe.

12Teste-toi

Vérifie que tu as compris

D'après la sortie SPSS du salaire (Test Value = 50 ; intervalle de la différence [2,568 ; 6,531]), quel est l'intervalle de confiance à 95 % du salaire moyen espéré ?

[2,568 ; 6,531] k$ C'est l'intervalle de l'écart à 50, pas celui de la moyenne. Il faut ajouter la valeur testée.
[52,568 ; 56,531] k$ Oui : on ajoute 50 aux deux bornes. C'est le même intervalle que celui d'Explore.
[50 ; 54,55] k$ Non : un intervalle de confiance est centré sur la moyenne de l'échantillon (54,55), pas borné par la valeur testée.

Vérifie que tu as compris

Un test t bilatéral donne t = −1,20, df = 60, Two-Sided p = 0,235. Avec α = 5 %, que conclut-on ?

On rejette H0, car t est négatif Le signe de t indique seulement le sens de l'écart (moyenne sous la valeur testée). La décision se prend avec la p-value.
On ne rejette pas H0 Oui : 0,235 > 0,05. Et |t| = 1,20 reste sous la valeur critique (environ 2).
On accepte H0 : la moyenne vaut µ₀ Bonne décision, mauvais mots : « fail to reject H0 », jamais « accept », et on n'a pas prouvé que la moyenne vaut µ₀.

Vérifie que tu as compris

Pour les dépenses, tu poses H1 : µ > 900. La moyenne observée est 917,52 $ ; SPSS affiche One-Sided p = .213 et Two-Sided p = .425. Décision ?

On ne rejette pas H0, avec p = 0,213 Oui : l'écart (+17,52) va dans le sens de H1, donc on lit One-Sided p. Mais 0,213 > 0,05.
On ne rejette pas H0, avec p = 0,425 Bonne décision, mauvaise colonne : pour un test unilatéral dont l'écart va dans le sens de H1, la p-value est One-Sided p.
On rejette H0, car 917,52 > 900 L'échantillon est au-dessus de 900, mais pas assez loin pour exclure le hasard (p = 0,213).

Vérifie que tu as compris

Tu testes H1 : µ < 50 pour le salaire espéré (moyenne observée : 54,55 k$). SPSS affiche One-Sided p < .001. Décision ?

On rejette H0, car p < 0,001 C'est le piège : cette aire est calculée du côté des valeurs élevées, celui vers lequel penche l'échantillon. Pour H1 : µ < 50, l'écart va dans le mauvais sens.
On ne rejette pas H0 : l'échantillon va dans le sens contraire de H1 Oui : 54,55 > 50, aucune preuve d'une moyenne inférieure à 50. La vraie p-value dépasse 0,999.
On ne peut pas conclure sans refaire le test Pas besoin : le sens de l'écart suffit pour conclure qu'on ne rejette pas H0.

Vérifie que tu as compris

Avec 979 clients, l'âge moyen observé (40,16 ans) diffère significativement de 41 ans (p = 0,005). Que peut en dire le manager ?

L'âge des clients a beaucoup changé Significatif ne veut pas dire grand : l'écart n'est que de 0,84 an.
Il y a 99,5 % de chances que l'âge moyen ait changé C'est le contresens classique sur la p-value : elle se calcule en supposant H0 vraie, ce n'est pas la probabilité d'une hypothèse.
L'écart n'est probablement pas dû au hasard, mais il est minuscule : sans doute sans importance pratique Exactement : avec un grand échantillon, un tout petit écart devient significatif. À la banque de juger s'il compte.

En résumé

Test t à un échantillon : une moyenne comparée à une valeur cible µ₀. Condition : n > 50 ou données normales.
$t = (\bar{x} - \mu_0)/(s/\sqrt{n})$ compte les erreurs standard entre la moyenne et µ₀ ; loi de Student car σ est inconnu, df = n − 1.
SPSS : Analyze › Compare Means › One-Sample T Test, sans oublier la Test Value. Bilatéral → Two-Sided p.
Intervalle de la moyenne = intervalle de la différence + valeur testée. Contient µ₀ ⇔ on ne rejette pas H0.
Unilatéral : One-Sided p seulement si l'écart va dans le sens de H1. Et significatif ne veut pas dire important.

Pour t'entraîner : exercices du chapitre 3.

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