Exercices du chapitre 2

1. Population : les 2 millions de tickets de l'année, N = 2 000 000. Échantillon : les 400 tickets tirés au hasard, n = 400. (Attention, la population ici, ce sont des tickets, pas des clientes : c'est sur les tickets qu'on calcule le panier.)

2.

3. Non, pas exactement. 37,20 € est une estimation de µ : un autre tirage de 400 tickets aurait donné un autre chiffre. On peut même dire de combien il bouge typiquement : l'erreur standard vaut 15/√400 = 15/20 = 0,75 €. Dans 95 % des cas, x̄ tombe à moins de 1,96 × 0,75 ≈ 1,47 € de µ.

37.20 is the sample mean x̄: it is a statistic, used as an estimate of the population mean µ, which is fixed but unknown.

1. Biaisé. Les abonnés du compte Instagram de l'IESEG sont jeunes, étudiants et utilisateurs de réseaux sociaux : ils passent sans doute plus de temps sur les réseaux que le Français moyen. C'est l'exemple du tennis du cours.

2. Aléatoire simple. La base de sondage est complète (tous les abonnés) et le tirage au sort donne à chacun la même chance d'être choisi.

3. Biaisé. Exemple du cours : ceux qui passent devant le restaurant connaissent mieux le restaurant que le Lillois moyen. La notoriété sera surestimée.

4. Biaisé. Les joueurs de golf ont en moyenne des revenus plus élevés : le revenu moyen sera surestimé. Les 2 000 réponses n'y changent rien.

5. Biaisé, malgré les 50 000 réponses. Seuls répondent ceux qui regardent cette chaîne et qui sont assez motivés pour envoyer un SMS (on parle d'auto-sélection). Une très grande taille réduit le hasard, jamais le biais.

This sample is biased: the people interviewed in front of the restaurant are not representative of the population of Lille. We would need a simple random sample, in which every individual of a complete frame has the same probability of being selected.

1. Estimateur : c'est une méthode, définie avant de voir les données. 2. Estimation : c'est un nombre, le résultat de la méthode sur un échantillon précis. 3. Sans biais. 4. Convergent. 5. Robuste (c'est le cas de la médiane). 6. Efficace.

7. Une estimation sans biais. Diviser par n sous-estimerait la dispersion de façon systématique ; diviser par n − 1 corrige ce biais.

L'erreur classique : confondre estimateur et estimation. Retiens « la recette et le gâteau » : la recette (estimateur) ne change pas, le gâteau (estimation) est un peu différent à chaque fois.

An estimator is a method (for example: the mean age of 10 randomly selected guests). An estimate is the value obtained with a given sample (for example: 34 years).

1. n = 4 : 10/2 = 5 ans ; n = 16 : 10/4 = 2,5 ans ; n = 25 : 10/5 = 2 ans ; n = 100 : 10/10 = 1 an.

2. Il faut 10/√n = 1, donc √n = 10, donc n = 100.

3. Non. Avec 50 invités, l'erreur standard vaut 10/√50 ≈ 1,41 an : doubler n divise l'erreur par √2 ≈ 1,41 seulement. Pour passer de 2 ans à 1 an (diviser par 2), il faut multiplier n par 4 : 25 × 4 = 100 invités.

4. Non. σ mesure la dispersion des individus : interroger plus de monde ne rend pas les invités plus semblables. C'est l'erreur standard (dispersion des moyennes) qui diminue.

The standard error σ/√n decreases with the square root of the sample size: to divide it by 2, the sample size must be multiplied by 4.

1. Faux. Le TCL parle de la distribution de la moyenne, pas des données. Les âges gardent leur forme, quelle que soit la taille de l'échantillon.

2. Vrai. C'est ce qui fait de x̄ un estimateur sans biais.

3. Vrai. n = 979 est bien plus grand que 50 : le TCL s'applique, quelle que soit la forme des durées.

4. Faux. Avec un petit échantillon, le TCL ne protège pas. D'où la règle du cours : si n < 50, la variable doit être normale.

5. Faux. C'est l'inverse : l'erreur standard σ/√n est √n fois plus petite que σ. Les moyennes varient moins que les individus.

6. Vrai. C'est l'origine du 1,96 des intervalles à 95 %.

The Central Limit Theorem says that, for a large sample (n > 50 in this course), the sample mean is approximately normally distributed around µ, with standard deviation σ/√n, whatever the distribution of the variable. It does not say that the data become normal.

1. Vrai. C'est la phrase attendue : niveau de confiance, moyenne de la population, deux bornes, unité.

2. Faux, et c'est le contresens le plus grave. L'intervalle concerne la moyenne, pas les individus. Les clients ont entre 20 et 61 ans ; seuls 38 clients sur 979 (3,9 %) ont un âge dans cette fourchette (ceux qui ont exactement 40 ans).

3. Faux. µ est un nombre fixe : il est dans l'intervalle ou il n'y est pas. Le 95 % décrit la fiabilité de la méthode, d'où « we are 95% confident ».

4. Vrai. C'est exactement le sens du niveau de confiance (environ, car le hasard joue aussi sur ce nombre).

5. Faux. L'âge moyen de l'échantillon est connu exactement : 40,16 ans. L'intervalle estime µ, la moyenne de la population.

6. Faux. Plus de confiance, c'est un filet plus grand : à 99 %, on obtient [39,39 ; 40,93].

1. x̄ = 3,11 (Mean) ; s = 0,402 (Std. Deviation) ; erreur standard = 0,038 (la colonne Std. Error, sur la ligne Mean) ; n = 111.

2. \( s/\sqrt{n} = 0{,}402/\sqrt{111} = 0{,}402/10{,}536 = 0{,}038 \). ✓

3. Lower Bound = 3,03 et Upper Bound = 3,19.

We are 95% confident that the mean GPA of all the students of the university is between 3.03 and 3.19.

4. Non : n = 111 > 50, le théorème central limite suffit. (Pour information, Shapiro-Wilk donne d'ailleurs p = 0,068 > 0,05 : la normalité n'est pas rejetée.)

5. Non : 3,0 est en dehors de l'intervalle [3,03 ; 3,19]. Les valeurs plausibles de µ sont toutes au-dessus de 3,0 : nos données suggèrent que le GPA moyen est un peu plus élevé que ce qu'annonce le directeur. Le test t du chapitre 3 confirme : p = 0,005, on rejette « µ = 3 ».

Erreur classique : lire 0,402 (l'écart-type) à la place de 0,038 (l'erreur standard), ou interpréter l'intervalle comme « 95 % des étudiants ont un GPA entre 3,03 et 3,19 ».

1. Erreur standard : \( s/\sqrt{n} = 10{,}536/\sqrt{111} = 10{,}536/10{,}536 = 1{,}000 \) k$. (Coïncidence amusante : s est égal à √111.)
2. Marge d'erreur : \( 1{,}982 \times 1{,}000 = 1{,}982 \) k$.
3. Intervalle : \( [54{,}55 - 1{,}98 \ ;\ 54{,}55 + 1{,}98] = [52{,}57 \ ;\ 56{,}53] \) k$. C'est exactement ce qu'affiche SPSS dans Explore.

We are 95% confident that the mean expected salary of all the students is between 52.57 and 56.53 thousand dollars.

5. Parce que σ, l'écart-type de la population, est inconnu : on l'estime par s, ce qui ajoute de l'incertitude. On utilise donc la loi de Student à n − 1 = 110 degrés de liberté. Avec n = 111, la différence avec la loi normale est minime (1,982 contre 1,96).

1. Plus le niveau de confiance est élevé, plus l'intervalle est large. Largeurs (calculées avec les bornes arrondies) : A = 1,18 ; B = 1,54 ; C = 0,98. Donc C = 90 %, A = 95 %, B = 99 %.

2. Tous sont centrés sur l'estimation ponctuelle x̄ = 40,16 ans (par exemple (39,57 + 40,75)/2 = 40,16). Seule la marge d'erreur change, car la valeur critique t change : 1,646 (90 %), 1,962 (95 %), 2,581 (99 %).

3. Pour diviser la largeur par 2, il faut multiplier n par 4 : environ 979 × 4 = 3 916 clients.

4. En général, l'intervalle à 95 % : c'est le compromis standard entre confiance et précision. À 99 %, on est plus sûr mais moins précis ; à 90 %, c'est l'inverse.

We are 95% confident that the mean age of the bank's clients is between 39.57 and 40.75 years. With a 99% level of confidence, the interval is wider (39.39 to 40.93 years).

1. p̂ = 55/111 = 0,4955. Conditions : n·p̂ = 55 > 5 et n·(1 − p̂) = 56 > 5. ✓
2. Erreur standard : \( \sqrt{0{,}4955 \times 0{,}5045/111} = 0{,}0475 \). Marge : \( 1{,}96 \times 0{,}0475 = 0{,}0930 \). Intervalle : \( [0{,}4025 \ ;\ 0{,}5885] \), soit [40,2 % ; 58,8 %].
3. Non. 49,5 % est la proportion dans l'échantillon. Dans la population, la proportion de femmes peut raisonnablement être n'importe où entre 40,2 % et 58,8 %, et cet intervalle contient 50 %. Avec 111 étudiants, on ne peut pas dire si les femmes sont minoritaires ou majoritaires : l'écart de 0,5 point est bien plus petit que la marge d'erreur (± 9,3 points).

We are 95% confident that the proportion of women among all the students is between 40.2% and 58.8%. Since this interval contains 50%, the data do not allow us to say that women are a minority.

1. \( 1{,}96 \times \sqrt{0{,}5 \times 0{,}5/1\,000} = 1{,}96 \times 0{,}0158 = 0{,}031 \), soit ± 3,1 points.

2. Diviser la marge par 2 (de 3,1 à environ 1,55) = multiplier n par 4 : environ 4 000 personnes.

3. 250 = 1 000/4, donc la marge est multipliée par 2 : \( 1{,}96 \times \sqrt{0{,}25/250} = 0{,}062 \), soit ± 6,2 points.

4. Non. L'intervalle de A va d'environ 48,9 % à 55,1 % : il contient 50 %. Le résultat est compatible avec une victoire de A comme de B. On dit que les candidats sont « dans la marge d'erreur ».

5. Oui. La taille de la population n'apparaît pas dans la formule : c'est la taille de l'échantillon qui compte (tant que la population est beaucoup plus grande que l'échantillon et que le tirage est vraiment aléatoire).

To divide the margin of error by 2, the sample size must be multiplied by 4: about 4,000 people instead of 1,000.

1. df = 14 dans le test de Shapiro-Wilk : il y a 14 Freshmen. Comme 14 < 50, le théorème central limite ne suffit pas : d'après la règle du cours, on ne peut utiliser la formule que si la variable est normale.

2. GPA : Sig. = 0,268 > 0,05 → on ne rejette pas la normalité. On peut utiliser l'intervalle [2,62 ; 3,26]. Spending : Sig. = 0,018 < 0,05 → on rejette la normalité (quelques étudiants dépensent beaucoup plus que les autres, jusqu'à 1 400 $). n < 50 et variable non normale : STOP, l'intervalle [746,18 ; 973,82] n'est pas fiable, même si SPSS l'affiche.

The sample size is small (n = 14 < 50), so the variable must be normally distributed. The Shapiro-Wilk test gives a p-value of 0.268 > 0.05, so normality is not rejected. We are 95% confident that the mean GPA of freshmen is between 2.62 and 3.26.

4. On ne donne pas d'intervalle de confiance avec la formule habituelle :

With only 14 freshmen and a variable that is not normally distributed (Shapiro-Wilk p-value = 0.018 < 0.05), we cannot use the usual formula for the confidence interval of the mean spending. We would need a larger sample (more than 50 freshmen).

Le piège : SPSS calcule toujours l'intervalle, sans vérifier les conditions. C'est à toi de le faire.

1. On veut estimer π, la proportion de tous les clients de la banque qui ont un prêt personnel. Estimation ponctuelle : p̂ = 153/979 = 0,1563 (15,6 %).

2. Conditions : 153 « yes » > 5 et 826 « no » > 5. ✓ Erreur standard : \( \sqrt{0{,}1563 \times 0{,}8437/979} = 0{,}0116 \). Marge : \( 1{,}96 \times 0{,}0116 = 0{,}0227 \). Intervalle : \( [0{,}1335 \ ;\ 0{,}1790] \), soit [13,4 % ; 17,9 %].

3. « Un client sur cinq », c'est 20 %. Or 20 % est en dehors de l'intervalle : toutes les valeurs plausibles sont plus basses. L'affirmation du directeur n'est pas compatible avec les données ; la vraie proportion semble plutôt autour d'un client sur six ou sept.

The conditions are met (153 > 5 and 826 > 5). We are 95% confident that the proportion of the bank's clients who have a personal loan is between 13.4% and 17.9%. Since 20% is not in this interval, the data do not support the claim that one client out of five has a personal loan.

4. Il a mis p̂ en pourcentage : « 1 − 15,6 » donne −14,6, et la racine d'un nombre négatif n'existe pas. Dans la formule, p̂ s'écrit en décimal : 0,1563.

1. Non. Shapiro-Wilk donne Sig. < 0,001 < 0,05 : on rejette la normalité. L'asymétrie (Skewness = 3,286) est très forte : quelques appels très longs (jusqu'à 2 462 s, soit plus de 40 minutes) étirent la distribution vers la droite.

2. Oui. La règle du cours n'exige la normalité que si n < 50. Ici n = 979 : le théorème central limite garantit que la moyenne suit approximativement une loi normale, même si les durées n'en suivent pas une. C'est le piège de l'exercice : ne pas s'arrêter à cause de Shapiro-Wilk.

3. Intervalle : [241,95 ; 273,51] secondes.

The variable is not normally distributed, but the sample is large (n = 979 > 50), so we can use the confidence interval thanks to the Central Limit Theorem. We are 95% confident that the mean duration of the bank's calls is between 241.95 and 273.51 seconds.

4. Faux : l'intervalle concerne la durée moyenne, pas chaque appel. Les appels durent de 3 à 2 462 secondes, la moitié dure moins de 184 secondes (médiane). En réalité, seuls 61 appels sur 979 (6,2 %) durent entre 241,95 et 273,51 secondes. Correction : « We are 95% confident that the mean duration of the calls is between 242 and 274 seconds. »

5. Plus large : plus de confiance demande un plus grand filet. (SPSS donne [236,98 ; 278,48] à 99 %.)

6. La moyenne n'est pas robuste : les quelques appels très longs la tirent vers le haut. La moyenne tronquée à 5 % (on enlève les 5 % de valeurs les plus basses et les 5 % les plus hautes) l'est moins, et la médiane pas du tout. Pour décrire une durée « typique », la médiane (184 s, environ 3 minutes) est plus parlante ; pour planifier le temps total de travail des conseillers, c'est bien la moyenne qui compte.