La logique d'un test : H0, H1 et le procès
« Peut-on dire que… ? » : comment transformer une question d'entreprise en test, et que veut dire exactement « rejeter H0 » ?
- Expliquer à quoi sert un test d'hypothèse, à partir d'une question concrète
- Écrire correctement H0 et H1, avec le « = » toujours dans H0
- Reconnaître un test bilatéral, unilatéral à gauche ou unilatéral à droite
- Décider avec des bornes et le dire avec les mots exacts : reject H0 / fail to reject H0
- Citer les 8 étapes d'un test
Ton professeur le dit lui-même : ce chapitre est le plus important du cours, et sans doute de toutes tes matières quantitatives. Bonne nouvelle : toute sa logique tient dans une idée que tu connais déjà, celle d'un procès. Dans cette leçon, tu apprends à poser la question correctement (H0 et H1) et à annoncer la décision avec les bons mots. Tout le reste du chapitre répète ce schéma.
1Ce que tu sais déjà
Au chapitre 2, tu as construit des intervalles de confiance : « je suis 95 % confiant que la moyenne de la population est entre … et … ». C'était une question ouverte : où se trouve la moyenne ?
Un test pose une question fermée. Quelqu'un fait une affirmation précise sur la population, et tu veux savoir si ton échantillon la contredit. La réponse sera du type oui / non, avec un risque d'erreur connu.
Intervalle de confiance (ch. 2)
Question : où est l'âge moyen des étudiants ?
Réponse : une fourchette. Sur StudentSurvey : entre 21,52 et 22,43 ans, avec 95 % de confiance.
Test d'hypothèse (ch. 3)
Question : l'âge moyen vaut-il 22 ans, comme on le prétend ?
Réponse : on rejette l'affirmation… ou on ne la rejette pas.
2À quoi sert un test ?
En entreprise, on se pose sans arrêt des questions de ce genre. Toutes celles-ci viennent du cours :
- Marketing (Netflix) : « On pense que nos clients regardent la télé 2 heures par jour. Est-ce vrai ? »
- Restauration rapide : « Le temps d'attente moyen était de 3 minutes. A-t-il changé ce mois-ci ? »
- Contrôle qualité : « Le fournisseur garantit moins de 0,5 % de jouets défectueux. Peut-on le croire ? »
- Médecine : « Ce vaccin protège-t-il vraiment ? »
- Justice : « Peut-on conclure que l'accusé est coupable ? »
Point commun : impossible d'interroger toute la population (tous les clients, tous les jouets). On n'a qu'un échantillon, et un échantillon ne ressemble jamais parfaitement à la population. La vraie question devient donc : l'écart entre mon échantillon et l'affirmation est-il trop grand pour n'être qu'un hasard ?
Un test d'hypothèse sert à décider, à partir d'un échantillon, si une affirmation sur la population tient la route. On ne « prouve » jamais rien : on regarde si les données sont compatibles avec l'affirmation, ou si elles la contredisent trop fortement.
3Le procès de Mister Bunny
Le professeur raconte cette histoire. La confiture a disparu. Dans la cuisine, il n'y avait qu'une petite fille de 4 ans, qui accuse un certain Mister Bunny. Mister Bunny passe en procès.
Au tribunal, une règle s'impose : tout accusé est présumé innocent tant que sa culpabilité n'est pas prouvée. On part donc de « innocent », et c'est à l'accusation d'apporter des preuves. Ici, les preuves sont plutôt maigres : pas de confiture sur Mister Bunny, il n'aime pas la confiture… et c'est une peluche.
| Au tribunal | Dans un test statistique |
|---|---|
| Présomption d'innocence : « Mister Bunny est innocent » | H0, l'hypothèse nulle : ce qu'on suppose vrai au départ |
| L'accusation : « il est coupable » | H1, l'hypothèse alternative : ce qu'on cherche à montrer |
| Les preuves | Les données de l'échantillon |
| Preuves accablantes → condamné | Données très éloignées de H0 → on rejette H0 (reject H0) |
| Preuves insuffisantes → acquitté | Données compatibles avec H0 → on ne rejette pas H0 (fail to reject H0) |
Un accusé acquitté faute de preuves n'est pas forcément innocent : on n'a simplement pas pu prouver sa culpabilité. De même, quand on ne rejette pas H0, on n'a pas prouvé que H0 est vraie.
Et un accusé condamné peut, rarement, être innocent : un test peut se tromper lui aussi (c'est le sujet de la leçon 2). On ne saura jamais avec certitude si Mister Bunny a volé la confiture. On dit seulement si les preuves suffisent.
4Écrire H0 et H1
C'est l'étape 1 de tout test, et celle où l'on perd le plus de points à l'examen. Première règle : les deux hypothèses parlent toujours de la population (la vraie moyenne µ, la vraie proportion p), jamais de l'échantillon. La moyenne de ton échantillon, tu la connais déjà : pas besoin d'un test pour elle !
H0, l'hypothèse nulle
C'est le statu quo : ce qu'on suppose vrai, « ce qu'on s'attend à voir s'il ne se passe rien de spécial ». La valeur de l'an dernier, la valeur annoncée, « pas d'effet », « pas de lien ».
Elle contient toujours le signe « = » (ou « ≤ », « ≥ »).
On la garde tant qu'on n'a pas assez de preuves contre elle.
H1, l'hypothèse alternative
C'est l'affirmation à démontrer, souvent la question de recherche : « a changé », « a augmenté », « il y a un lien ».
Elle ne contient jamais « = », « ≤ » ni « ≥ » : seulement ≠, < ou >.
C'est le contraire exact de H0.
Le signe « = » est toujours dans H0.
H0 = le statu quo (« rien n'a changé », « pas d'effet », « pas de lien »). H1 = ce que tu veux montrer.
Les trois exemples du cours
| Situation | H0 | H1 | Pourquoi |
|---|---|---|---|
| Une marque annonce 400 km d'autonomie pour sa voiture électrique. A priori, tu la crois. | µ = 400 km | µ ≠ 400 km | On vérifie l'annonce, sans idée de sens : bilatéral. |
| L'an dernier, le panier moyen était de 46 € par client. Peut-on dire qu'il a augmenté ? | µ ≤ 46 € | µ > 46 € | « Augmenté » donne le sens de H1. Le statu quo (pas de hausse) reste dans H0. |
| L'origine (français / non-français) est-elle liée à la couleur préférée ? | Pas de lien (indépendance) | Lien (dépendance) | Pour deux variables qualitatives, H0 = « indépendantes ». Ce sera le khi-deux (leçon 7). |
La méthode en 3 questions
- Sur quoi porte la question ?Une moyenne (µ), une proportion (p), un lien entre deux variables…
- Quelle est la valeur de référence ?La valeur annoncée, celle de l'an dernier, une norme. On la note µ₀ (ou p₀). C'est elle qui apparaît dans H0 avec le « = ».
- Quel sens suggère la question ?« Différent », « a changé », « est-ce vrai ? » → H1 : ≠. « A augmenté », « plus de », « dépasse » → H1 : >. « A baissé », « moins de », « inférieur » → H1 : <.
5Bilatéral ou unilatéral ?
Le signe de H1 donne le type de test. Son nom vient de l'endroit où se trouve H1 par rapport à la valeur de référence : des deux côtés, à gauche ou à droite.
| Unilatéral à gauche left-tailed | Bilatéral two-tailed | Unilatéral à droite right-tailed | |
|---|---|---|---|
| H0 | µ ≥ µ₀ | µ = µ₀ | µ ≤ µ₀ |
| H1 | µ < µ₀ | µ ≠ µ₀ | µ > µ₀ |
| Mots-clés | « moins de », « a baissé », « inférieur » | « différent », « a changé », « est-ce vrai ? » | « plus de », « a augmenté », « dépasse » |
| Exemple | L'autonomie réelle est-elle inférieure aux 400 km annoncés ? | L'autonomie vaut-elle 400 km ? | Le panier moyen dépasse-t-il 46 € ? |
Dans la pratique, la grande majorité des questions du cours sont bilatérales. Ne choisis un test unilatéral que si la question indique clairement un sens.
Et si je vois « H0 : µ = 46 » pour un test unilatéral ?
Certains livres écrivent toujours un « = » dans H0, même pour un test unilatéral. Le professeur signale cette habitude comme source de confusion : le test est exactement le même. Dans ce cours, écris « ≤ » ou « ≥ » : H0 et H1 couvrent alors toutes les valeurs possibles, sans trou.
6Décider : la méthode des bornes
Retour au mariage. Quelqu'un affirme : « les invités ont 30 ans en moyenne ». Tu ne peux pas demander leur âge aux 300 invités, alors tu en interroges un échantillon. Rien ne t'indique de sens : le test est bilatéral.
\(\mu\) : l'âge moyen de tous les invités (la population), que tu ne connais pas.
30 : la valeur de référence \(\mu_0\), celle de l'affirmation.
Même si l'âge moyen vaut vraiment 30 ans, ton échantillon ne donnera presque jamais exactement 30 : plutôt 29,2 ou 31,5, à cause du hasard du tirage (c'est la variabilité d'échantillonnage du chapitre 2). Donc :
- une moyenne d'échantillon proche de 30 est compatible avec H0 → on ne rejette pas H0 ;
- une moyenne loin de 30, au-dessus ou en dessous, est suspecte → on rejette H0.
Pour savoir où commence « loin », on fixe des bornes, aussi appelées valeurs critiques. Dans l'exemple du cours, elles valent 26 et 34 ans.
| Moyenne de ton échantillon | Où tombe-t-elle ? | Décision |
|---|---|---|
| 28,5 ans | entre 26 et 34 | On ne rejette pas H0 |
| 33,9 ans | entre 26 et 34 (de justesse) | On ne rejette pas H0 |
| 25 ans | sous la borne 26 | On rejette H0 |
| 35,2 ans | au-dessus de la borne 34 | On rejette H0 |
D'où viennent 26 et 34 ? Dans l'exemple du professeur, elles sont posées « arbitrairement », pour comprendre. En vrai, on les calcule à partir du risque d'erreur qu'on accepte (le risque α, leçon 2) : on standardise l'écart et on le compare à une valeur critique (1,96 pour la loi normale, environ 2 pour une loi de Student avec une centaine d'observations). Tu n'auras jamais à faire ce calcul à l'examen : SPSS s'en charge, et la p-value remplacera les bornes par un seul nombre.
- Expected value (valeur attendue, µ₀) : la valeur annoncée par H0, ici 30 ans.
- Observed value (valeur observée, \(\bar{x}\)) : la moyenne de ton échantillon, ici 25 ans.
- Critical values (valeurs critiques, bornes) : les limites au-delà desquelles on rejette H0.
- tSTAT (statistique de test) : l'écart entre valeur observée et valeur attendue, une fois standardisé. C'est lui qu'on compare aux valeurs critiques, et c'est SPSS qui le calcule (colonne « t »).
7Les mots exacts : reject ou fail to reject
Le professeur insiste : on ne dit jamais « H0 est vraie » ni « H1 est vraie ». Pourquoi ? Parce qu'on travaille sur un échantillon, qui peut être trompeur (au mariage, tu as peut-être interrogé la table des enfants !).
- Si la moyenne de l'échantillon est entre 26 et 34, l'âge moyen vaut-il exactement 30 ? Non ! Il vaut peut-être 31. On sait seulement que les données ne contredisent pas H0.
- Si elle est en dehors, est-on sûr que l'âge moyen n'est pas 30 ? Non plus : on a peut-être eu un échantillon malchanceux. Mais c'est peu probable, donc on rejette H0.
✓ Ce qu'on écrit
“We reject H0.”
“We fail to reject H0” / “We cannot reject H0.”
“There is (not) enough statistical evidence to say that…”
✗ Ce qu'on n'écrit jamais
“We accept H0.” / “H0 is true.”
“We have proven H1.”
“The mean age is 30.”
Pour l'échantillon à 25 ans :
The sample mean (25) is outside the bounds [26 ; 34], so we reject H0. There is enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the mean age of the guests is not 30.
Pour un échantillon à 28,5 ans :
The sample mean (28.5) is between the bounds, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the mean age of the guests differs from 30.
Le « 5% level of significance », c'est le risque α : tu le découvres dans la leçon suivante.
8Les 8 étapes d'un test (aperçu)
Tous les tests du chapitre suivent le même plan en 8 étapes. Tu n'as pas à tout maîtriser aujourd'hui : chaque leçon en éclaire une partie.
- Poser H0 et H1Le statu quo et l'affirmation à montrer, avec le « = » dans H0. C'est cette leçon.
- Dire sur quoi on travailleUne moyenne ? Une proportion ? Un ou plusieurs groupes ? Deux variables qualitatives ? Voir la leçon 4.
- Choisir le testTest t, khi-deux, test binomial… Voir la leçon 4.
- Vérifier les conditionsPar exemple n > 50 pour un test t ; sinon, un plan B. Voir la leçon 4.
- Fixer le risque αLe plus souvent 5 %. Voir la leçon 2.
- Comparer l'échantillon à H0Avec des bornes (comme ici) ou, beaucoup plus simple, en lisant la p-value et en la comparant à α. Voir la leçon 3.
- DéciderReject H0 ou fail to reject H0.
- Conclure en contexteUne phrase en anglais, avec les mots de la question (âge, prix, clients…) et le risque.
9Entraîne-toi à écrire H0 et H1
C'est l'exercice le plus rentable du chapitre. Pour chaque situation, applique la méthode en 3 questions avant de regarder les réponses.
Le temps d'attente moyen dans ton fast-food était de 3 minutes. Tu veux savoir s'il a changé ce mois-ci.
- H0 : µ ≠ 3 ; H1 : µ = 3 Inversé : le « = » est toujours dans H0. Le statu quo, c'est « rien n'a changé ».
- H0 : µ ≤ 3 ; H1 : µ > 3 Ce serait la bonne réponse si la question était « a-t-il augmenté ? ». Ici, « changé » vaut dans les deux sens.
- H0 : µ = 3 ; H1 : µ ≠ 3 Oui : « a changé » ne donne pas de sens (plus long ou plus court), donc test bilatéral. La valeur de référence (3 minutes) va dans H0.
- H0 : \(\bar{x}\) = 3 ; H1 : \(\bar{x}\) ≠ 3 \(\bar{x}\) est la moyenne de ton échantillon : tu la connais déjà ! Les hypothèses portent sur la population (µ).
L'an dernier, le panier moyen était de 46 € par client. Le directeur veut montrer qu'il a augmenté cette année.
- H0 : µ ≤ 46 ; H1 : µ > 46 Exact, c'est l'exemple du cours : ce qu'on veut montrer (une hausse) va dans H1, le statu quo (pas de hausse) dans H0, avec le « ≤ ».
- H0 : µ = 46 ; H1 : µ ≠ 46 Ce test répondrait à « a-t-il changé ? ». Mais la question donne un sens : « augmenté ».
- H0 : µ > 46 ; H1 : µ ≤ 46 Inversé : le « ≤ » contient l'égalité, il doit être dans H0. Et H1 est ce qu'on veut montrer : la hausse.
Une association de consommateurs soupçonne que l'autonomie réelle de la voiture électrique est inférieure aux 400 km annoncés. Quelle hypothèse alternative ?
- H1 : µ ≠ 400 (bilatéral) Ce serait juste pour simplement vérifier l'annonce. Ici, l'association soupçonne un sens précis : « moins ».
- H1 : µ ≥ 400 Impossible : « ≥ » contient l'égalité, il va dans H0, jamais dans H1.
- H1 : µ > 400 (unilatéral à droite) Mauvais sens : l'association soupçonne une autonomie plus faible.
- H1 : µ < 400 (unilatéral à gauche) Oui : la question donne le sens « inférieure », H1 va de ce côté. H0 est alors µ ≥ 400.
Ton fournisseur garantit au plus 0,5 % de jouets défectueux. Le service qualité veut montrer que le lot en contient davantage. Quelles hypothèses (p = proportion de jouets défectueux dans le lot) ?
- H0 : p = 0,005 ; H1 : p ≠ 0,005 Le service qualité ne se demande pas « est-ce différent ? » mais « est-ce plus ? » : la question a un sens.
- H0 : p ≤ 0,005 ; H1 : p > 0,005 Oui. La garantie du fournisseur est le statu quo (H0) ; le soupçon du service qualité est ce qu'il faut démontrer (H1). Unilatéral à droite.
- H0 : p > 0,005 ; H1 : p ≤ 0,005 Inversé : ce serait présumer le fournisseur coupable. Et le « ≤ » doit être dans H0.
Un laboratoire teste un nouveau vaccin. Quelle est l'hypothèse nulle ?
- « Le vaccin est efficace. » C'est ce que le laboratoire veut montrer, donc H1. Partir de « efficace », ce serait valider le vaccin sans preuve.
- « Le vaccin n'a aucun effet. » Oui : par prudence, on suppose au départ qu'un nouveau vaccin ne marche pas. C'est à lui de faire ses preuves, comme l'accusation au tribunal.
- « Le vaccin est parfait. » Personne ne cherche à montrer ça. Même en rejetant H0, on dira seulement que le vaccin a un effet, pas qu'il est parfait.
Tu te demandes si le genre d'un client est lié au fait d'être abonné à Netflix. Quelles hypothèses ?
- H0 : genre et abonnement sont liés ; H1 : ils sont indépendants Inversé : « pas de lien » est le statu quo. Deux variables prises au hasard n'ont, a priori, aucune raison d'être liées.
- H0 : 50 % des abonnés sont des hommes ; H1 : ce n'est pas 50 % C'est une autre question (une proportion comparée à 50 %), pas celle d'un lien entre deux variables.
- H0 : genre et abonnement sont indépendants ; H1 : ils sont liés Oui : pour deux variables qualitatives, H0 est toujours « pas de lien » (indépendance).
10Les pièges classiques
« H0 : µ ≠ 30 ; H1 : µ = 30 »
Le « = » (ou ≤, ≥) est toujours dans H0. Logique : on ne pourra jamais démontrer avec un échantillon qu'une moyenne vaut exactement 30. On peut seulement montrer qu'elle n'en est pas loin… ou qu'elle en est loin.
« H0 : \(\bar{x}\) = 30 »
\(\bar{x}\) est la moyenne de ton échantillon : tu la calcules, tu n'as rien à tester. Les hypothèses portent sur la population : µ pour une moyenne, p pour une proportion.
Non : on n'a simplement pas assez de preuves contre H0, comme l'accusé acquitté faute de preuves. On écrit fail to reject H0, jamais accept H0.
11Teste-toi
Au mariage (H0 : µ = 30, bornes 26 et 34), ton échantillon donne une moyenne de 33 ans. Que décides-tu ?
- On rejette H0, car 33 ≠ 30. Un échantillon ne donne presque jamais exactement 30. La vraie question est de savoir si l'écart est grand : ici, 33 reste dans les bornes.
- On ne rejette pas H0. Oui : 33 est entre 26 et 34. L'écart avec 30 peut s'expliquer par le hasard de l'échantillon.
- On accepte H0 : l'âge moyen est de 30 ans. Bonne décision, mauvais mots : on ne dit jamais « accept H0 », et l'âge moyen vaut peut-être 31 ou 32.
Que signifie exactement « we fail to reject H0 » ?
- H0 est vraie. C'est le contresens à éviter : comme pour l'acquitté faute de preuves, H0 n'est pas prouvée.
- H1 est fausse. On n'a rien prouvé sur H1 : avec plus de données, on aurait peut-être pu la détecter.
- Les données n'apportent pas assez de preuves contre H0. Exactement. On garde H0 faute de mieux, sans affirmer qu'elle est vraie.
« Le temps moyen passé sur l'appli a-t-il diminué depuis la mise à jour ? » (avant : 12 minutes). Quel type de test ?
- Bilatéral (H1 : µ ≠ 12) Non : « diminué » indique un sens précis.
- Unilatéral à droite (H1 : µ > 12) Mauvais côté : « diminué » veut dire plus petit, donc à gauche.
- Unilatéral à gauche (H1 : µ < 12) Oui : H1 est du côté des petites valeurs, la zone de rejet est à gauche. H0 est µ ≥ 12.
Laquelle de ces paires d'hypothèses est correctement écrite ?
- H0 : µ > 50 ; H1 : µ ≤ 50 Le « ≤ » contient l'égalité : il doit être dans H0, pas dans H1.
- H0 : µ = 50 ; H1 : µ ≥ 50 H1 contient une égalité (≥), et la valeur 50 serait à la fois dans H0 et dans H1 : impossible.
- H0 : µ ≥ 50 ; H1 : µ < 50 Oui : l'égalité est dans H0, H1 est le contraire exact (unilatéral à gauche).
- H0 : µ ≠ 50 ; H1 : µ = 50 Inversé : le « = » est toujours dans H0.
En résumé
- Un test décide, à partir d'un échantillon, si une affirmation sur la population tient la route. On ne prouve jamais rien à 100 %.
- H0 = statu quo, présumée vraie (comme l'innocence au tribunal), avec le « = » (ou ≤, ≥). H1 = ce qu'on veut montrer (≠, < ou >).
- H1 : ≠ → bilatéral ; H1 : < → unilatéral à gauche ; H1 : > → unilatéral à droite. Le plus souvent : bilatéral.
- Échantillon loin de H0 (au-delà des bornes) → reject H0 ; proche → fail to reject H0. Jamais « accept H0 ».
- Un test suit toujours 8 étapes : hypothèses, objet, choix du test, conditions, α, comparaison, décision, conclusion.
Pour t'entraîner : exercices du chapitre 3.
Tu as tout compris ?
Coche la leçon : ta progression s'affiche dans le menu.