Tester une proportion : le test binomial
Un agent immobilier annonce « 56 % des maisons sont près de la mer ». Comment vérifier une proportion annoncée, et pourquoi faut-il multiplier la p-value de SPSS par 2 ?
- Reconnaître une question de test binomial (une proportion, deux réponses possibles, une valeur cible)
- Poser H0 et H1 sur une proportion de la population
- Lancer le test dans SPSS et trouver la p-value dans le tableau Binomial Test
- Multiplier par 2 la p-value unilatérale quand la proportion testée n'est pas 0,5
- Vérifier la cohérence avec l'intervalle de confiance d'une proportion
« 80 % de nos clients sont satisfaits », « 5 % des personnes appelées souscrivent » : les entreprises annoncent des proportions en permanence. Le test binomial vérifie si ton échantillon est compatible avec la proportion annoncée. Le test lui-même est simple ; le vrai danger est dans SPSS, qui affiche une p-value unilatérale. Le prof le répète : il faut la multiplier par 2. Cette leçon t'apprend à ne jamais te faire piéger.
1Ce que tu sais déjà
Dans la leçon sur l'intervalle de confiance d'une proportion, tu as estimé une proportion de la population à partir d'un échantillon (« 72 % des étudiants ont un portable, à ± 8 points près »). Dans la leçon sur le test t à un échantillon, tu as comparé une moyenne à une valeur cible.
Le test binomial, c'est la même idée que le test t à un échantillon, mais pour une proportion : une variable à deux réponses (oui / non, près de la mer / pas près), et une valeur annoncée à vérifier. C'est aussi, sans le dire, le test que tu as fait avec la pièce de monnaie dans la leçon sur la p-value.
2L'idée : l'agent immobilier
Exemple du cours (fichier House.sav) : un agent immobilier affirme que 56 % des maisons d'un quartier sont près de la mer. Tu tires un échantillon de 87 maisons : 47 sont près de la mer, soit 54 %. 54 % au lieu de 56 % : l'agent a-t-il menti, ou est-ce le hasard de l'échantillon ?
Raisonnons comme toujours en supposant H0 vraie. Si 56 % des maisons sont vraiment près de la mer, sur 87 maisons tirées au hasard on en attend en moyenne 0,56 × 87 = 48,7. Mais d'un échantillon à l'autre, ce nombre varie : parfois 45, parfois 52… La loi binomiale (celle du lycée) donne la probabilité de chaque résultat :
On compare la proportion observée dans l'échantillon (p = 54 %) à la proportion annoncée (π₀ = 56 %). Si l'écart est assez grand pour être rare quand H0 est vraie, on rejette H0. On s'appuie sur la loi binomiale parce que la réponse est binaire (oui / non).
H0 : π = 0,56 (dans la population, 56 % des maisons sont près de la mer) ;
H1 : π ≠ 0,56.
Attention aux lettres : π (ou p₀) désigne la proportion de la population, celle dont parle H0 ; p la proportion observée dans l'échantillon. H0 ne parle jamais de l'échantillon.
Condition : aucune. Le cours le dit clairement : le test binomial est toujours utilisable, quelle que soit la taille de l'échantillon, car il repose directement sur la loi binomiale (au-delà de 25 observations, SPSS la remplace par une approximation normale très proche, d'où le mot « Asymp. » que tu verras dans les tableaux). Seule exigence : une variable à deux modalités.
3Dans SPSS : deux chemins
Le prof utilise la boîte « moderne ». Elle demande quelques clics de plus, mais te laisse dire clairement ce qu'est un « succès » :
- Onglet Fields : retire toutes les variables sauf celle à tester (ex.
Sea). - Onglet Settings : Customize tests → coche Compare observed binary probability to hypothesized (Binomial test) → Options… : Hypothesized proportion =
0.56, et définis le succès (« yes » = près de la mer). - Run.
L'ancienne boîte, plus directe, produit le tableau classique « Binomial Test » que l'on va lire dans les exemples :
- Test Variable List : une variable numérique à deux valeurs. Si elle est en texte ou a plus de deux modalités, recode-la d'abord (Transform › Recode into Different Variables, par exemple 1 = Part-Time, 0 = autre).
- Test Proportion : la proportion de H0 (ex.
0.75) → OK.
Dans l'ancienne boîte, SPSS appelle Group 1 la modalité qu'il rencontre en premier dans le fichier, et c'est la proportion du Group 1 qu'il compare à ta Test Proportion. Vérifie toujours que le Group 1 est bien la modalité dont parle ta question (on verra un exemple où ce n'est pas le cas).
4Le grand piège : une p-value unilatérale
Dans l'exemple des maisons, SPSS affiche une p-value de 0,396. Le prof met en garde : « pour de très mauvaises raisons », SPSS donne ici la p-value d'un test unilatéral (un seul côté, l'orange plein de la figure). Or notre H1 est « π ≠ 0,56 » : un test bilatéral, qui compte les écarts dans les deux sens. Il faut donc doubler : p = 2 × 0,396 ≈ 0,79, bien plus grand que 0,05. On ne rejette pas H0 : rien ne permet de dire que l'agent a menti.
Regarde le nom de la colonne du tableau Binomial Test :
- « Asymp. Sig. (1-tailed) », avec la note « Based on Z Approximation » (la proportion testée n'est pas 0,5) → multiplie par 2 avant de comparer à α ;
- « Exact Sig. (2-tailed) » (la proportion testée vaut 0,5) → c'est déjà la bilatérale : ne double pas.
La règle à retenir : quel que soit le début du nom (« Asymp. » ou « Exact »), si la colonne dit « 1-tailed », on multiplie par 2.
Pourquoi SPSS fait-il ça ? (facultatif)
Quand la proportion testée vaut 0,5, la loi binomiale est symétrique : les deux côtés sont identiques et SPSS peut calculer la bilatérale sans ambiguïté. Quand elle ne vaut pas 0,5 (comme 0,56), la loi est un peu asymétrique et il n'y a pas une seule façon « naturelle » de définir l'autre côté ; SPSS se contente du côté observé. Multiplier par 2, c'est supposer que l'autre côté pèse autant : c'est la convention du cours.
5Exemple 1 : 3 étudiants sur 4 travaillent-ils à temps partiel ? (la décision change)
Fichier StudentSurvey (111 étudiants). Le service carrières affirme que 3 étudiants sur 4 (75 %) ont un emploi à temps partiel. Dans l'échantillon, 75 étudiants sur 111 travaillent à temps partiel, soit 67,6 %. H0 : π = 0,75 ; H1 : π ≠ 0,75.
Préparation : on a recodé Employment en une variable PartTime à deux modalités (Part-Time / Other, « Other » regroupant Full-Time et Unemployed). Le premier étudiant du fichier travaille à plein temps : pour que le Group 1 soit bien « Part-Time », on a trié le fichier (Data › Sort Cases) afin qu'un étudiant à temps partiel arrive en première ligne.
Binomial Test
| Category | N | Observed Prop. | Test Prop. | Asymp. Sig. (1-tailed) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| PartTime | Group 1 | Part-Time 1 | 75 | .68 | .75 | .045a,b 2 |
| Group 2 | Other | 36 | .32 | |||
| Total | 111 | 1.00 | ||||
a. Alternative hypothesis states that the proportion of cases in the first group < .75.
b. Based on Z Approximation.
- 1Group 1 = Part-Time : c'est bien la proportion d'étudiants à temps partiel (0,68) qui est comparée à 0,75. Parfait.
- 2Le nom de la colonne dit 1-tailed, et la note « a. » confirme que SPSS a testé un seul sens (« < .75 »). La note « b. » indique simplement qu'il a utilisé l'approximation normale. Notre H1 est « ≠ » : on double. p = 2 × 0,045 = 0,089.
✗ Sans multiplier par 2
0,045 < 0,05 → « on rejette H0, le service carrières a tort ».
Mauvaise lecture, mauvaise conclusion.
✓ Avec ×2
0,089 > 0,05 → « on ne rejette pas H0 ».
Pas assez de preuves, à 5 %, pour contredire le service carrières.
Voilà pourquoi le prof insiste : ici, oublier de multiplier par 2 inverse la décision. Et c'est cohérent avec l'intervalle de confiance de la leçon 2.4 : on est confiant à 95 % que la vraie proportion d'étudiants à temps partiel est entre 58,9 % et 76,3 %. Cet intervalle contient 75 %, donc 75 % reste plausible. (Dans l'échelle du cours, p = 0,089 est « peu significatif » : à 10 %, on aurait rejeté H0.)
SPSS gives a one-tailed p-value (0.045), so the two-tailed p-value is 2 × 0.045 = 0.089. It is larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the proportion of students working part-time differs from 75%.
6Exemple 2 : la moitié des étudiants veulent-ils poursuivre ? (proportion testée = 0,5)
Toujours dans StudentSurvey : la moitié des étudiants ont-ils l'intention de faire un master (Grad Intention = Yes) ? 42 étudiants sur 111 répondent Yes (37,8 %), les autres No ou Undecided. On recode en GradYes (Yes / Other). H0 : π = 0,50 ; H1 : π ≠ 0,50.
Binomial Test
| Category | N | Observed Prop. | Test Prop. | Exact Sig. (2-tailed) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| GradYes | Group 1 | Yes | 42 | .38 | .50 1 | .013 2 |
| Group 2 | Other | 69 | .62 | |||
| Total | 111 | 1.00 | ||||
- 1La proportion testée vaut 0,50 : dans ce cas, SPSS calcule directement la p-value bilatérale.
- 2La colonne s'appelle 2-tailed : on ne double pas. p = 0,013 < 0,05 : on rejette H0.
Cohérence avec l'intervalle de confiance : la proportion de « Yes » est estimée entre 28,8 % et 46,9 %. Cet intervalle ne contient pas 50 % : on s'attendait bien à rejeter H0.
The test proportion is 0.5, so SPSS directly gives the two-tailed p-value (0.013). It is smaller than 0.05, so we reject H0. There is enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the proportion of students who intend to go to graduate school differs from 50% (it is lower in the sample: 37.8%).
7Exemple 3 : 5 % de souscription ? (le piège du Group 1)
Fichier BankMarketing (979 clients). La banque prévoyait que 5 % des clients appelés souscriraient un dépôt à terme. Dans l'échantillon, 41 clients sur 979 ont souscrit, soit 4,2 %. H0 : πyes = 0,05 ; H1 : πyes ≠ 0,05.
Problème : le premier client du fichier n'a pas souscrit. Dans l'ancienne boîte, Group 1 = « no ». Si tu tapes Test Proportion = 0,05, SPSS teste « 5 % de no » ! Il trouve évidemment p < 0,001 (on observe 96 % de « no »), et tu conclurais n'importe quoi. Deux solutions : tester la proportion de « no » à 0,95 (c'est la même question, puisque 5 % de yes = 95 % de no), ou utiliser la boîte moderne en définissant le succès = « yes ».
Binomial Test
| Category | N | Observed Prop. | Test Prop. | Asymp. Sig. (1-tailed) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Term Deposit | Group 1 | no 1 | 938 | .96 | .95 | .137a,b 2 |
| Group 2 | yes | 41 | .04 | |||
| Total | 979 | 1.00 | ||||
a. Alternative hypothesis states that the proportion of cases in the first group > .95.
b. Based on Z Approximation.
- 1Group 1 = no. On a donc tapé 0,95 (la proportion de « no » sous H0). Tester « 95 % de no », c'est tester « 5 % de yes ».
- 2Colonne 1-tailed : on double. p = 2 × 0,137 = 0,275 > 0,05 : on ne rejette pas H0.
Cohérence : l'intervalle de confiance à 95 % de la proportion de souscripteurs va de 2,9 % à 5,4 % : il contient 5 %.
The two-tailed p-value is 2 × 0.137 = 0.275, larger than 0.05, so we fail to reject H0. There is not enough statistical evidence, at a 5% level of significance, to say that the proportion of clients who subscribe to a term deposit differs from 5%.
8Récapitulatif des trois exemples
| Question | Observé | Testé | Colonne SPSS | p bilatérale | Décision (5 %) |
|---|---|---|---|---|---|
| Temps partiel = 75 % ? | 67,6 % | 0,75 | Asymp. 1-tailed : 0,045 | × 2 = 0,089 | on ne rejette pas H0 |
| Master = 50 % ? | 37,8 % | 0,50 | Exact 2-tailed : 0,013 | 0,013 | on rejette H0 |
| Souscription = 5 % ? | 4,2 % | 0,95 (no) | Asymp. 1-tailed : 0,137 | × 2 = 0,275 | on ne rejette pas H0 |
9Et avec plus de deux catégories ? Le khi-deux d'ajustement
Le test binomial ne marche qu'avec deux réponses. Pour vérifier des proportions annoncées sur trois catégories ou plus (« 20 % de maisons bleues, 20 % de rouges, 60 % de blanches »), on utilise le khi-deux d'ajustement (chi-square goodness-of-fit test). Sa logique est celle du khi-deux d'indépendance : on compare des effectifs observés à des effectifs attendus. Pour les maisons, avec 87 maisons : 47 observées près de la mer contre 0,56 × 87 = 48,72 attendues, et 40 loin de la mer contre 38,28 attendues. Condition : au moins 5 attendus par catégorie.
Le prof le précise : ce test n'est pas détaillé en cours et il n'y aura pas de question spécifique dessus à l'examen. Retiens seulement qu'il existe (pour ton projet) : Analyze › Nonparametric Tests › Legacy Dialogs › Chi-square, avec les valeurs attendues.
10Les pièges
« Asymp. Sig. (1-tailed) » (ou tout autre « 1-tailed ») + H1 avec « ≠ » → multiplie par 2. L'exemple du temps partiel le montre : 0,045 conduit à rejeter, 0,089 à ne pas rejeter.
Avec une proportion testée de 0,5, la colonne s'appelle « 2-tailed » : la p-value est déjà bilatérale. La doubler, ce serait compter deux fois l'autre côté. Lis toujours le nom de la colonne avant de décider.
SPSS compare la proportion du Group 1 à la Test Proportion. Si le Group 1 est la modalité opposée à celle de ta question, teste 1 − π₀ (0,95 au lieu de 0,05), ou définis le succès dans la boîte moderne.
Dans cette leçon, « p » désigne à la fois la proportion observée (0,68) et la p-value (0,089). À l'examen, écris en toutes lettres : the observed proportion is 0.68, the p-value is 0.089. Et H0 porte sur la population : H0 : π = 0,75, jamais « H0 : p = 0,68 ».
11Teste-toi
Une enseigne affirme que 30 % de ses clients reviennent dans le mois. Sur 200 clients suivis, 52 sont revenus. Quel test ?
- Test t à un échantillon Non : « revenu oui / non » n'est pas une variable quantitative dont on teste la moyenne, c'est une proportion.
- Khi-deux d'indépendance Non : il n'y a pas deux variables à croiser, seulement une proportion à comparer à une valeur annoncée.
- Test binomial (proportion testée 0,30) Oui : un groupe, une variable oui/non, une proportion annoncée.
SPSS affiche : Test Prop. = .30, Asymp. Sig. (1-tailed) = .040. H1 : π ≠ 0,30, α = 5 %. Que conclus-tu ?
- On rejette H0, car 0,040 < 0,05 C'est l'erreur classique : la colonne est unilatérale. Il faut d'abord doubler.
- On ne rejette pas H0, car 2 × 0,040 = 0,080 > 0,05 Oui : la p-value bilatérale vaut 0,080, au-dessus de 5 %.
- On ne peut pas conclure sans la p-value bilatérale Si : la règle du cours est de la reconstituer en multipliant par 2.
SPSS affiche : Test Prop. = .50, Exact Sig. (2-tailed) = .030. Que fais-tu ?
- Je double : p = 0,060, on ne rejette pas H0 Non : la colonne est déjà « 2-tailed » (proportion testée 0,5). Doubler fausse le résultat.
- Je lis 0,030 tel quel : on rejette H0 à 5 % Oui : avec 0,5, SPSS donne directement la bilatérale, et 0,030 < 0,05.
Tu veux tester « 20 % des clients ont acheté (Yes) ». Le tableau SPSS indique Group 1 = No (N = 150, Observed Prop. = .75) et Test Prop. = .20. Quel est le problème ?
- Aucun, le test est correct Non : SPSS compare la proportion du Group 1 (les « No ») à 0,20, ce n'est pas ta question.
- SPSS teste « 20 % de No » : il fallait taper 0,80, ou définir « Yes » comme succès Oui : 20 % de Yes = 80 % de No. C'est le piège du Group 1.
- Il faut multiplier la p-value par 4 Non : le problème n'est pas la p-value mais la proportion testée, qui ne correspond pas au bon groupe.
Dans l'exemple du temps partiel (67,6 % observés, 75 % annoncés), quelle hypothèse nulle est correcte ?
- H0 : p = 0,676 Non : H0 ne porte jamais sur l'échantillon (on connaît déjà 0,676). Elle porte sur la population.
- H0 : π = 0,75 Oui : dans la population, la proportion vaut la valeur annoncée. Le « = » est dans H0.
- H0 : π ≠ 0,75 Non : le « ≠ » va dans H1. Le signe « = » est toujours dans H0.
En résumé
- Une proportion, deux réponses possibles, une valeur annoncée → test binomial. H0 : π = π₀ ; H1 : π ≠ π₀. Toujours utilisable.
- SPSS : Nonparametric Tests › One Sample (définir le succès) ou Legacy Dialogs › Binomial (vérifier le Group 1).
- Colonne 1-tailed (proportion testée ≠ 0,5) → × 2. Colonne 2-tailed (0,5) → telle quelle.
- Vérifie la cohérence avec l'intervalle de confiance de la proportion : s'il contient π₀, on ne rejette pas H0.
- Plus de deux catégories : khi-deux d'ajustement (pas de question spécifique à l'examen).
Pour t'entraîner : exercices du chapitre 3.
Tu as tout compris ?
Coche la leçon : ta progression s'affiche dans le menu.